ODE의 해의 유일성 (1)

<본 글은 아래 링크의 NPTEL의 강의를 참조하였음을 밝혀드립니다.>
https://www.youtube.com/watch?v=xyzX8_E9ly0&list=PLHj96QRJ0kOitUZeV9iK7cCTb8Ell7Joc&index=8&ab_channel=NPTEL-NOCIITM

  저번 글에서는 여러가지 Lipschitz condition에 대해 다루어 보았는데요, 이번 글에서는 이 조건이 어떻게 ODE의 해의 유일성과 연관이 되는지에 대해 알아보려고 합니다.

Theorem) (Picard-Lindelof theorem) $x(0) \in \mathbb{R}^n$을 만족하는 $\dot{x}=f(x)$와 함수 $f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$에 대해, $f$가 $x(0)$에서 locally Lipschitz할 경우, $\delta>0$에 대해 interval $t \in [0, \delta]$에서 $\dot{x}=f(x)$가 유일한 해 $x(t)$를 갖는 상수 $\delta$가 존재한다.

  위 theorem을 증명하는 것은 나중에 다루도록 하겠습니다. 먼저, 언급된 $f$는 $x$의 $t$에 대한 derivative임을 우리는 먼저 알 수 있습니다. 따라서 위 theorem이 사실이라고 한다면, interval $t \in [0, \delta]$에 대해서, $x(t)$는 어떻게 구할 수 있을까요?

  이 때 사용되는 것이 Picard's iteration입니다. 먼저 이 글에서는 Picard's iteration에 대해 소개드린 후, 다음 글부터 순차적으로 이에 대한 증명을 하겠습니다. 이에 앞서, 사소한 정의 하나부터 하겠습니다.

Definition) 임의의 신호 $x(t), \, t \in [0, T], T \in \mathbb{R};$와 해당되는 초기조건 $x(0) \in \mathbb{R}^n$에 대해, $x_0$는 $x_0(t)=x(0) \, for \, \forall t \in [0, T]$인 상수신호이다.

Definition) (Picard's iteration) 초기조건 $x(0) \in \mathbb{R}^n$과 interval $[0, T]$에 정의된 미분방정식 $\dot{x}=f(x)$가 주어졌다고 하자. $k \in \mathbb{N}$에 대해 $\varphi_0(t)=x_0(t):for \, t \in [0, T]$인 신호로 이루어진 수열

을 Picard's iteration이라고 한다. 또한 $P(\varphi_{k}(t))=\varphi_{k+1}(t)$를 만족하는 operator $P$를 Picard's operator라고 한다.

  Picard's iteration의 핵심은 만약 $f$가 $[0, T]$에서 locally Lipschitz한 경우, $x(t)$가 미분방정식 $\dot{x}=f(x)$의 해라고 했을 때, iteration의 극한값은 다음과 같은 성질을 만족한다는 것입니다.

Conclusion

  다음 글에서는 왜 locally Lipschitz condition을 만족할 때, Picard's iteration을 통해 미분방정식의 해를 구할 수 있는지에 대해 다루어보겠습니다. 감사합니다!