<이 글은 아래 링크의 유투브 강의를 매우 많이 참조하였음을 밝혀드립니다.>
https://www.youtube.com/watch?v=1pE1sIINwwc&list=PLHj96QRJ0kOitUZeV9iK7cCTb8Ell7Joc&index=9&ab_channel=NPTEL-NOCIITM
저번 글에서는 Picard's operator P가 S에서 S로 mapping하는 함수라는 것을 증명하였습니다. 이때 S는 complete metric space X의 closed subset입니다. 또한 함수가 정의되는 범위 [0,δ]에서 1. δ는 최소한 f가 x(0)에서 locally Lipchitz condition을 만족할 수 있는 값이어야 하며, 2.
δ≤Lr+∣∣f(x(0))∣∣2r
라는 조건을 만족해야 P:S→S를 만족한다는 사실을 알 수 있었습니다.
이번 글에서는, 3. P가 contractive하기 위한 δ의 범위를 살펴보고, δ가 위 세 가지 조건을 모두 만족할 때 바나흐 고정점 정리를 적용할 수 있고, 최종적으로 Picard's operator를 반복적으로 적용함으로써 미분방정식의 해를 구할 수 있다는 사실을 증명하겠습니다.
For any x,y∈S={z:∣∣z−x0∣∣sup≤r} with initial condition x(0)=y(0)=x0(0), and t∈[0,δ]: we know that f is locally Lipschitz on Bˉ(x(0),r). So we can let that:
∣∣P(x(t))−P(y(t))∣∣2=∣∣∫0tf(x(τ))−f(y(τ))dτ∣∣2≤∫0t∣∣f(x(τ))−f(y(τ))∣∣2dτ≤L∫0t∣∣x(τ)−y(τ)∣∣2dτ≤L∫0δ∣∣x(τ)−y(τ)∣∣2dτ≤L∫0δ∣∣x−y∣∣supdτ=δL⋅∣∣x−y∣∣sup
이 부등식은 임의의 t∈[0,δ]에 대해 성립하므로, 위 부등식에 supremum을 적용할 경우 다음과 같은 부등식 또한 만족한다는 결론을 내릴 수 있습니다.
∣∣Px−Py∣∣sup≤δL⋅∣∣x−y∣∣sup
이를 다시 해석해보면, δL<1↔δ<L1일 때 P는 contraction이라는 결론을 내릴 수 있습니다!
Conclusion.
우리는 δ가 1. f가 x(0)에서 locally Lipschitz하고 2. δ≤Lr+∣∣f(x(0))∣∣2r를 만족하며, 3. δ<L1, 이 세 가지 조건을 동시에 만족할 때 Picard's operator P:S→S가 contraction이라는 사실을 보였으며, contraction mapping theorem으로 인해, P에 대한 unique fixed point가 존재한다는 결론을 내릴 수 있습니다.
