ODE의 해의 유일성(3)

<본 글은 NPTEL의 아래 유투브 강의 내용을 참고하였음을 먼저 밝혀드립니다.>
https://www.youtube.com/watch?v=1pE1sIINwwc&list=PLHj96QRJ0kOitUZeV9iK7cCTb8Ell7Joc&index=9&ab_channel=NPTEL-NOCIITM

  저번 글에 이어서, 이번 글에서는 Picard's operator가 contractive transformation이라는 사실을 증명하려고 합니다. 이에 앞서, 제 글에서는 $x_0$는 $\mathbb{R} \times \mathbb{R}^n$인 constant signal이고 $x(0)$은 $\mathbb{R^n}$ vector임을 밝혀드립니다.

  또한 Picard's operator는 함수 $x \in S$에 대해 $Px \in \mathcal{X}$로 mapping시키는 함수이지만, $P(x(t)) \in \mathbb{R^n}$는 $Px$가 특정 시간 $t$에서 갖는 함수값으로 정의하겠습니다.

  증명에 앞서, 먼저 Picard's operator의 정의에 대해 짚고 넘어가고자 합니다.

Definition) (Picard's iteration) 초기조건 $x(0) \in \mathbb{R}^n$과 interval $[0, T]$에 정의된 미분방정식 $\dot{x}=f(x)$가 주어졌다고 하자. $k \in \mathbb{N}$에 대해 $\varphi_0(t)=x_0(t):for \, t \in [0, T]$인 신호로 이루어진 수열

을 Picard's iteration이라고 한다. 또한 $P(\varphi_{k}(t))=\varphi_{k+1}(t)$를 만족하는 operator $P$를 Picard's operator라고 한다.

  또한, 저번 글에서는 Picard's operator $P$의 domain $S$를 $S=\{x \in \mathcal{X} : \, ||x - x_0||_{sup} \le r\}$로 두었습니다. 따라서 먼저 Picard's operator $P$의 codomain이 $S$이고, contractive하기 때문에 바나흐 고정점 정리를 적용할 수 있다는 것을 보여야 할 것입니다. 따라서 다음과 같은 theorem을 증명해야 합니다.

Theorem)

Let

and

for some $\delta \ge 0$ and $r \ge 0$.

  For some given signal $x \in \mathcal{X}$, let $f$ is locally Lipschitz on $x(0) = x_0(t):t \in [0, \delta]$, where Lipschitz on some closed ball $\bar{B}(x(0), r) \subset \mathbb{R^n}$. Then Picard's operator $P:S \rightarrow \mathcal{X}$ is onto $S$ and also contractive;

Proof)

  First, we need to show that $P$ is an operator from $S$ into $S$. For

we know that

hence $x_0 \in S$.

  For any $x \in S:$ we need to prove that

  먼저, interval 내 임의의 원소 $t \in [0, \delta]$에 대해, Picard's operator $P:S \rightarrow \mathcal{X}$ 를 정의할 수 있으며, $\mathbb{R^n}$ 공간에서의 norm은 다음과 같은 최댓값을 갖습니다.

$Given \; \; P(x(t))=x_0(t)+\int_{0}^{t}f(x(\tau)) d\tau :$

(*$0 \le t \le \delta$이고, $x(t)$는 $t \in [0, \delta]$에서 $x(0)$와의 차이가 $r$ 이내이며 $f$는 $\bar{B}(x(0), r) \subset \mathbb{R^n}$에서 Lipschitz함)

따라서, 우리는 모든 $t \in [0, \delta]$에 대해, 다음과 같은 성질을 만족함을 보였습니다.

그러므로, 다음과 같은 부등식이 성립합니다.

만약 우리가 $\delta$에 대해,

를 만족한다는 조건을 추가할 경우 다음과 같은 결론을 내릴 수 있을 것입니다.

  그러므로 위 조건을 만족하는 $\delta$를 고른다면, opertaor $P$에 대한 결과 $Px$는 항상 $Px \in S$를 만족한다는 결론을 내릴 수 있습니다. 따라서 우리는 $P$가 $S$에서 $S$로 mapping시키는 함수라는 것을 증명했습니다.

  다음 글에서는 $P$가 contractive하다는 것을 증명하여, 최종적으로 $P$를 통해 미분방정식의 해를 찾을 수 있다는 것을 보이겠습니다. 긴 글 읽어주셔서 감사합니다!