앨빈 C. 렌쳐의 책 'Linear models in statistics'을 읽고 정리한 내용입니다.

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2.1 행렬 및 벡터 표기법

2.1.1 Matrices, Vectors, and Scalars

matrix, 행렬

행렬을 나타내기 위해 대문자 굵은 글씨를 사용하고, 이 책에서 행렬의 모든 요소는 실수이거나 실수를 나타내는 변수이다.

$a_{ij}$의 첫 번째 아래 첨자는 행, 두 번째는 열을 나타낸다. 행렬 $\mathbf{A}$는 3개의 행과 2개의 열을 가지고 있으며, $\mathbf{A}$의 크기는 $3\times2$라고 한다.

vector, 벡터

벡터는 단일 행 또는 열이 있는 행렬이다. 벡터의 요소는 단일 아래 첨자로 표현한다.

보통 열 벡터의 경우 소문자 굵은 글씨를 사용하며, 행 벡터의 경우 글씨 뒤에 프라임($\prime)$을 붙여 사용한다.

기하학적으로, p개의 원소를 가진 행 또는 열 벡터는 p차원 공간의 점과 관련 있으며, 벡터의 원소는 점의 좌표이다.

scalar, 스칼라

행렬과 벡터의 관점으로 볼 때 단일 실수를 스칼라(scalar)라고 한다.

2.1.2 Matrix Equality

크기가 같고 해당 위치의 요소가 같은 두 행렬 또는 두 벡터는 서로 같다.

2.1.3 Transpose

행렬 $\mathbf{A}$의 행과 열을 바꾼 행렬을 $\mathbf{A}$의 전치행렬(transpose)이라고 하며 $\mathbf{A^{\prime}}$로 표현한다.

Theorem 2.1 $\mathbf{A}$가 임의의 행렬일 때,

Proof. (2.1)에 의해, $\mathbf{A^{\prime}}=(a_{ij})^{\prime}=(a_{ji})$. 그러면 $\mathbf{(A^{\prime})^{\prime}}=(a_{ji})^{\prime}=a_{ij}=\mathbf{A}$.

2.1.4 특수한 형태의 행렬

symmetric matrix, 대칭 행렬

• $\mathbf{A}^{\prime}=\mathbf{A}$라면, '행렬 $\mathbf{A}$는 symmetric하다'라고 한다.
• 모든 대칭 행렬은 행의 수과 열의 수가 같은 정사각행렬(정방행렬)이다.

diagonal matrix, 대각 행렬

• 행렬의 대각선이 아닌 모든 위치에 0이 놓인 행렬을 대각 행렬(diagonal matrix)이라고 한다.

• $\mathbf{A}$와 동일한 대각선 요소를 같는 대각 행렬을 나타내기 위해 $\mathrm{diag}(\mathbf{A})$ 표기법을 사용한다.
  $\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 5 & 3 & -2 \\ 3 & -1 & 4 \\ 1 & 4 & 8 \end{pmatrix}, \space \mathrm{diag}(\mathbf{A})=\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 8 \end{pmatrix}$

identity matrix, 단위 행렬 ($\mathbf{I}$)

• 대각선 위치에 1이 있는 대각 행렬을 단위 행렬(identity matrix)라고 하며, $\mathbf{I}$로 표시한다.
  $\mathbf{I}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

upper triangular matrix, 상삼각행렬

• 대각선 아래에 있는 모든 요소가 0인 정사각행렬을 상삼각행렬(upper triangular matrix)라고 한다.
  $\mathbf{T}=\begin{pmatrix} 3 & 4 & -1 \\ 0 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

lower triangular matrix, 하삼각행렬

• 상삼각행렬의 반대로, 대각선 위에 있는 모든 요소가 0인 정사각 행렬이다.

0과 1의 벡터와 행렬 ($\mathbf{0}$, $\mathbf{O}$, $\mathbf{j}$, $\mathbf{J}$)

• 1의 벡터는 $\mathbf{j}$로 표현한다.
  $\mathbf{j}=\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}$
• 1의 정사각행렬을 $\mathbf{J}$라고 표현한다.
  $\mathbf{J}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$
• 0의 벡터를 $\mathbf{0}$으로, 0의 행렬을 $\mathbf{O}$로 표현한다.
  $\mathbf{0}=\begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \space \mathbf{O}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

앨빈 C. 렌쳐의 책 'Linear models in statistics'을 읽고 정리한 내용입니다.