1. 함수와 극한

Oak_Cassia·2021년 11월 14일
0

함수

집합 D 안에 있는 각 원소 x에 집합 E안의 오로지 하나의 원소 f(x)를 대응시키는 규칙

Domain(정의역), range(치역)
Independent variable: 정의역 안에 있는 임의의 수를 나타내는 기호
Dependent variable: 치역 안에 있는 임의의 수를 나타내는 기호

Mathematical model: 주어진 함수의 자취에 근사하는 명확한 공식을 갖는 함수

  • 수직선 판정법: xy 평면 안의 곡선이 x의 함수의 그래프일 필요충분조건인 곡선과 두 번 이상 교차하는 수직선이 없는 것

조각마다 정의된 함수

  • 절댓값, 계단 함수

함수의 종류

  • Linear function

  • Polynomial function(다항 함수)

  • Power function(거듭 제곱근 함수)

  • Reciprocal function(반비례함수)

  • Rational function (유리함수)

  • 삼각함수

  • 우함수: f(-x)=f(x)

  • 기함수: f(-x)=-f(x)

함수의 변환

  • 수직 수평 이동
  • 확대
  • 대칭

함수의 결합

F의 정의역이 a, G의 정의역이 b이면 f+g의 정의역 은 a x b (논리곱), 사칙연산 모두 가능, 0이 분모가 되는 x 제외

  • 합성함수

극한

함수의 극한, 우극한, 좌극한, 수렴, 진동

극한 계산

limxa[f(x)±g(x)]=limxaf(x)±limxag(x)lim_{x→ a}⁡[f(x)±g(x)] = lim_{x→ a}f(x) ± lim_{x→ a} g(x)

곱하기와 나누기도가능하다. 0으로 나눌 수는 없다.


limxac=clim_{x→ a}⁡c =c
limxa[f(x)]n=limxaf(x)nlim_{x→ a}⁡[f(x)]^n=lim_{x→ a} f(x)^n

직접 대입 성질: f가 다항함수 또는 유리 함수이고 a가 정의역 안에 있으면, 다음 식이 성립한다.
limxaf(x)=f(a)lim_{x→ a}f(x)= f(a)

x!=a,f(x)=g(x)x != a, f(x)=g(x) 일 때 극한이 존재한다면
limxaf(x)=limxag(x)lim_{x→ a}⁡f(x)= lim_{x→ a}⁡g(x)

a부근에 있는 x에 대해 f(x) <= g(x) <= h(x) 가 성립한다면
limxaf(x)limxag(x)limxah(x)=Llim_{x→ a}⁡f(x)≤ lim_{x→ a} g(x)≤lim_{x→ a}h(x)=L


다음이 성립할 때 함수 f는 a에서 연속이라고 한다.

  • f(a) 가 정의된다.
  • a에서의 극한 값이 있다.
  • a에서의 극한 값이 f(a)와 같다.

기타 개념
무한 불연속, 도약 불연속, a에서 왼쪽으로부터 연속, 오른쪽으로 붙 연속

구간에서 연속 [-1,1]

  • limx1+f(x)lim_{x→ -1+}⁡f(x)
  • limx1f(x)lim_{x→1-}f(x)

위의 식이 성립하는지 확인하면 된다.


연속

f와 g가 a에서 연속이고 c를 상수라고 하면 다음 함수들도 a에서 연속이다

  • f+g
  • f-g
  • cf
  • cg
  • f/g 이 때 g(a) != 0

임의의 다항함수는 모든 점에서 연속이다.
임의의 유리함수는 그 함수가 정의되는 모든 곳에서 연속이다.

중간값 정리

f가 폐구간 [a, b]에서 연속이고 N이 f(a)와 f(b) 사이에 있는 임의의 수라고 하자
여기서 f(a) != f(b)이다. 그러면 f(c)= N을 만족하는 수 c가 (a, b) 안에 존재한다.

무한대에서의 극한

함수 f가 어떤 구간(a, ∞)에서 정의된다고 하자. 다음 기호는 x를 충분히 크게 택함으로 써 f(x)값을 원하는 만큼 L에 가깝게 만들 수 있음을 의미한다.
limxf(x)=Llim_{x→ ∞}⁡f(x)= L

다음 중 어느 하나일 때 y=L을 곡선 y=f(x)의 수평 점근선이라 한다.
limxf(x)=L,limxf(x)=Llim_{x→ ∞}⁡f(x)= L , lim_{x→ -∞}⁡f(x)= L
n이 양의 정수이면 다음이 성립한다.
limx1/xn=0,limx1/xn=0lim_{x→ ∞⁡}1/x^n = 0, lim_{x→ -∞}⁡1/x^n = 0


앞으로 수식이 굉장히 많이 나올텐데 두렵다......

profile
rust로 뭐할까

0개의 댓글