2.역함수

Oak_Cassia·2021년 11월 14일
Calculus
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역함수

일대일 함수: 함수 f가 동일한 값을 두 번 취하지 않을 때 일대일 함수라 한다.
x1≠x2x1≠x2 이면 f(x1)≠f(x2)f(x1) ≠f(x2)

f가 정의역 A와 치역 B를 갖는 일대일 함수일 때,
f의 역함수 f−1(y)=x↔f(x)=yf^{-1} (y)=x↔f(x)=y
1/f(x)=[f(x)]−11/f(x) =[f(x)]^{-1}

소거 방정식
f−1(f(x))=x,f(f−1(x))=xf^{-1} (f(x))=x,f(f^{-1} (x))=x

역함수 구하기

  1. y에 대해 방정식을 푼다.
  2. y와 x를 바꾼다.

f−1f^{-1} 의 그래프는 y=x에 대해 f의 그래프를 대칭 이동시켜 얻는다.
f가 어떤 구간에서 정의된 일대일 연속 함수이면 이의 역함수도 그렇다.

지수함수

임의의 실수(a≠1, a>0)에 대해 f(x)=axf(x)=a^x 를 밑이 a인 지수 함수라고 한다.

lim⁡x→∞⁡ax=∞, lim⁡x→−∞⁡ax=0(a>1)\lim_{x→∞}⁡a^x=∞ ,\ \lim_{x→-∞}⁡a^x=0 (a>1)
lim⁡x→∞⁡ax=0, lim⁡x→−∞ax=∞(0<a<1)\lim_{x→∞}⁡a^x=0 ,\ \lim_{x→-∞}a^x=∞ (0<a<1)

지수 법칙 a, b가 실수이고 x, y 가 양의 실수이면
anam=an+m,(ab)n=anbn,(am)n=amna^n a^m=a^{n+m} , (ab)^n=a^n b^n , (a^m )^n=a^{mn}

무리수 e
1. lim⁡n→∞⁡(1+1/n)n=e\lim_{n→∞}⁡(1+1/n)^n =e
2. lim⁡n→0((an−1)/n)=e\lim_{n→0}((a^n-1 )/n) =e

로그함수

지수함수의 역함수를 로그함수라 한다.
y=log⁡a⁡x↔ay=xy=\log_a⁡x↔a^y=x
alog⁡a⁡x=x(x>0)a^{\log_a⁡x} =x (x>0)
log⁡a⁡ax=x(모든x에대해)\log_a ⁡a^x=x (모든 x에 대해)
a>1 일 때 lim⁡x→∞⁡log⁡a⁡x=∞, lim⁡x→0log⁡ax=−∞\lim_{x→∞}⁡\log_a⁡x=∞ ,\ \lim_{x→0}\log_ax=-∞
0<a<1 일 때 lim⁡x→∞log⁡a⁡x=−∞, lim⁡x→0+⁡log⁡a⁡x=∞\lim_{x→∞}\log_a⁡x=-∞ , \ \lim_{x→0}+ ⁡\log_a⁡x=∞

y축은 모든 로그함수의 수직 점근선이다.

로그의 성질
실수 a>0, a ≠ 0 과 양의 실수 x,y 그리고 임의의 실수 r에 대하여 다음이 성립한다.

log⁡a⁡xy=log⁡a⁡x+log⁡a⁡y\log_a⁡xy =\log_a⁡x + \log_a⁡y
log⁡a⁡x/y=log⁡a⁡x−log⁡a⁡y\log_a⁡x/y =\log_a⁡x - \log_a⁡y
log⁡a⁡xr=rlog⁡a⁡x\log_a⁡x^r =r\log_a⁡x

자연 로그 함수 log⁡e⁡x=ln⁡x\log_e⁡x =\ln x

밑 변환 공식 : 임의의 약수 a( a ≠ 1)에 대해 log⁡a⁡x=ln⁡⁡x/ln⁡⁡a\log_a⁡x=\ln⁡x/\ln⁡a

역삼각함수

sin 함수는 −π2-π\over2 와 π2π\over2 사이에서 연속이다.

아크 사인 함수(역사인함수)
sin⁡−1x=y<=>sin⁡ y=x\sin^{-1}x=y <=> \sin\ y=x 이 때 −π2-π\over2 ≤\leq y ≤\leq π2π\over2

sin⁡−1(sin⁡x)=x\sin^{-1}(\sin x) = x , −π2-π\over2 ≤\leq x ≤\leq π2π\over2
sin⁡(sin−1x)=x, −1\sin(sin^{-1}x)=x , \ -1 ≤\leq x ≤\leq 1

역코사인 함수
cos⁡−1x=y<=>cos⁡y=x\cos^{-1}x=y <=> \cos y=x 이 때 0 ≤\leq y ≤\leq π
cos⁡−1(cos⁡x)=x\cos^{-1}(\cos x) = x , −0-0 ≤\leq x ≤\leq π
cos⁡(cos⁡−1x)=x\cos(\cos^{-1}x)=x , −1-1 ≤\leq x ≤\leq 1

역탄젠트 함수
tan⁡−1x=y<=>cos⁡y=x\tan^{-1}x=y <=> \cos y=x 이 때 −π2-π\over2 ≤\leq y ≤\leq π2π\over2
lim⁡x→∞tan⁡−1x=\lim_{x→∞}\tan^{-1}x= π2\pi \over2

lim⁡x→−∞tan⁡−1x=\lim_{x→-∞}\tan^{-1}x= -π2\pi \over2

쌍곡선 함수

  • sinh⁡x=\sinh x=ex−e−x2e^x-e^{-x}\over2
  • cosh⁡x=\cosh x=ex+e−x2e^x+e^{-x}\over2
  • tanh⁡x=\tanh x=sinh⁡xcosh⁡x\sinh x\over \cosh x
  • cschx=csch x=1sinh⁡x1\over \sinh x
  • sechx=sech x=1cosh⁡x1\over \cosh x
  • cothx=coth x=cosh⁡xsinh⁡x\cosh x\over \sinh x

쌍곡선 함수의 항등식

  • sinh⁡(−x)=−sinh⁡x\sinh (-x) = -\sinh x
  • cosh⁡(−x)=cosh⁡x\cosh (-x) = \cosh x
  • cosh⁡2x−sinh⁡2x=1\cosh ^2x-\sinh ^2x=1
  • 1−tanh⁡2x=sech2x1-\tanh^2x=sech^2x
  • sinh⁡(x+y)=sinh⁡xcosh⁡y+sinh⁡ycosh⁡x\sinh(x+y)=\sinh x \cosh y + \sinh y\cosh x
  • cosh⁡(x+y)=cosh⁡xcosh⁡y+sinh⁡xsinh⁡y\cosh(x+y)=\cosh x \cosh y + \sinh x\sinh y

역쌍곡선 함수

y=sinh⁡−1x<=>sinh⁡y=xy=\sinh^{-1}x <=> \sinh y=x
y=cosh⁡−1x<=>cosh⁡y=xy=\cosh^{-1}x <=> \cosh y=x y ≥\geq 0
y=tanh⁡−1x<=>tanh⁡y=xy=\tanh^{-1}x <=> \tanh y=x

y=sinh⁡−1x=ln⁡(x+x2+1)y=\sinh^{-1}x=\ln (x+\sqrt{x^2+1}), x ∈\in R
y=cosh⁡−1=ln⁡(x+x2−1)y=\cosh^{-1}=\ln (x+\sqrt{x^2-1}), x ≥\geq 1
y=tanh⁡−1=y=\tanh^{-1}= 121 \over 2ln⁡\ln 1+x1−x1+x\over1-x , -1<x<1

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