14강_Function Space

Eony_Jahng·2022년 1월 18일

선형대수

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"모두를 위한 열린 강좌 KOCW"에서 제공하는 한양대학교 이상화 교수님의 선형대수 수업을 정리한 내용입니다.

Function Space (Hillbert Space)

expand vector space to funtions
Vector space $\in R^n \rightarrow$ Hillbert space $\in R^\infin$

이때 Vector space는 finite dimension이고, Hillbert space는 infinite dimension이다.

함수 x(t), y(t) $\in$ H ( $a\le t \le b$ )이면,
x(t) + y(t) $\in$ H 이고,
$\alpha$ x(t) $\in$ H 이다.

우리는 vector를

Vector\ V=(v_1,v_2,...v_n)^T이고,

\lim_{\vartriangle t \rightarrow 0}x(t)=(x(a),x(a+\vartriangle t),x(a+2\vartriangle t),...x(b))^T

\rightarrow x(t) \in R^{\infin} : 함수로 생각

Inner product

vector space에서 내적과 같이 function space에서 내적은 위와 같이 무한급수를 Integration으로 바꾸어 주는 것이다.

Orthogonality

Vector space와 같이 내적이 0이 될 때, 두 함수는 서로 orthogonal 하다.

Basis function

Vector space에서 linear combination을 이용해 basis vector를 구한 것과 같이 function space에서 basis function은 series라고 한다.

Orthogonal + Basis = Orthonormal

Hillber space는 함수를 벡터처럼 다루고 싶은 것이다. 이를 위해 함수의 각각 t라는 구간에서 t에 해당하는 값을 element로 쓰고, vector의 element 처럼 표현해주면 vector 개념을 function에서도 적용할 수 있다. Summation이 Integration으로 바뀌는 것뿐 나머지는 동일하다.

If given a basis, linear combination { $a_i$ } are unique!!
If given a basis function, series coefficients are unique!!

따라서 어떤 basis function에 따라 계수를 구하는게 쉽기도 어렵기도 하다. 그렇기 때문에 잘 정해야 하는데...

especially {cos(nt), sin(mt)} m, n are integer ( $0\le t \le 2\pi$ )

정리하면, basis func이 주어지면 어떤 형태로 $x(t)$ 라는 함수를 표현할 수 있다. 또한, basis와 $x(t)$ 의 coefficient가 주어지면 $x(t)$ 를 만들어 낼 수 있다. 이때 basis func을 $0\le t\le 2\pi$ 를 주기로 갖는 { $cosnt, sinmt$ }로 잡아보자는 것이다.