이동평균필터와 로우패스필터와 아무런 관련이 없어 보이지만 매우 깊은 연관성이 있다.
이동평균필터와 로우패스필터가 어떻게 이어지며, 데이터 추정 관점과 전자공학에서 바라보는 관점과도 비교를 해보고자 한다.

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1. 이동평균 필터의 한계

데이터 추정 관점에서 이동 평균의 의미에 대해 다시 살펴보는 것을 시작으로 이동 평균 필터의 한계를 알아보자.

식에서도 알 수 있듯, 이동 평균의 특징이자 단점은 모든 이전 데이터에 동일한 가중을 준다는 것이다. 즉, 오래된 측정값과 최신 측정값을 같은 비중으로 취급한다.
이 단점을 해결하여 오래된 측정값보다 최근 측정값에 더 높은 가중치를 준 것이 바로 로우 패스 필터이다.

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2. 로우패스 필터 재귀식

위의 아이디어를 재귀식으로 아래와 같이 표현해 볼 수 있을 것이다.

어디서 많이 보던 식일 것이다. 바로 평균 필터의 식과 같은 구조를 공유하기 때문이다.

아직 위 재귀식이 어떻게 최근 측정값에 더 높은 가중치를 주는지 이해가 가지 않는다면 다시 $\alpha$로 이루어진 재귀식을 풀어보자.

여기서 $\alpha$를 $0<\alpha<1$의 크기를 같는 상수로 둔다면,

이므로 최근 측정값($x_k$)가 과거 추정값($x_{k-1}$)보다 더 큰 가중치를 부여 받아 추정에 반영되고 있음을 알 수 있다.

이 때, 과거 가중치는 최근 가중치에 정확히 $\alpha$배에 비례해 감소하므로 이동평균 필터를 다른 말로 지수 가중 이동평균 필터라고도 부른다.

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3. 전기 신호 관점에서의 로우패스 필터

보통 로우 패스 필터는 전기공학이나 전자공학 또는 주파수를 다루는 학문에서 오히려 더 많이 들어보았을 것이다.
주파수 관점(라플라스 도메인)에서도 한번 로우패스 필터를 이해하고, 데이터 추정 관점의 재귀식과 연결해보자.
(주의: 전달함수 개념과 라플라스 변환에 대해 알고 있다는 가정하에 작성됨)

보통 로우패스를 간단히 RC회로로 구현하는 것을 많이 보았을 것이다. 여기서의 input과 output은 전압($v(t)$)이다.
키르히르프의 법칙을 사용해 미분방정식을 도출하면 아래와 같다.

라플라스 변환을 하여 전달함수를 구하면

위 식이 도출된다. 여기서의 $\omega_c$가 바로 cut-off frequency이다. 위식을 다시 라플라스 역변환을 해보자.

이동 평균 필터 관점에서 input은 측정값($x_k$), ouuput은 필터링 된 값($\bar{x}_k$)이므로 위 식을 다시 표현하면 아래와 같다.

그러므로 알파는 다음과 같음을 알 수 있다.

주파수 관점에서 말하는 cut-off frequency가 데이터 추정 관점에서도 $\alpha$의 형태로 녹아든 것을 볼 수 있다.

결국,
$\alpha$가 커진다는 것은 컷오프 주파수가 줄어들어 잡음 제거보다 측정값에 더 민감해 진다는 것을,
$\alpha$가 작아진다는 것은 컷오프 주파수가 커져 측정값보다 잡음 제거에 더 민감해진다는 것을 직관적으로 알수 있게 된다.
또한, 로우패스 필터도 일종의 가중평균필터이므로 가중평균필터와 동일하게 Phase에 Shift가 발생하는 것을 알 수 있다.

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3. 로우패스 필터 함수

function xlpf = LPF(x)
%
persistent prevX
persistent firstRun

if isempty(firstRun)
  prevX = x;
  firstRun = 1;  
end

alpha = 0.7;
xlpf = alpha*prevX + (1 - alpha)*x;

prevX = xlpf;