『Do it! 알고리즘 코딩 테스트 with JAVA 강의』를 듣고 정리한 글입니다.

구간 합

💡 코딩 테스트에서 사용 빈도가 높다.

구간 합은 합 배열을 이용하여 시간 복잡도를 더 줄이기 위해 사용하는 특수한 목적의 알고리즘이다.

합 배열

구간 합 알고리즘을 활용하려면 먼저 합 배열을 구해야 한다.

• 배열 A가 있을 때 합 배열 S는 다음과 같이 정의한다.

	// S[i]는 A[0]부터 A[i]까지의 합
	S[i] = A[0] + A[1] + A[2] + ... + A[i-1] + A[i]

• 합 배열은 기존의 배열을 전처리한 배열이라고 생각하면 된다.
• 합 배열을 미리 구해 놓으면 기존 배열의 일정 범위의 합을 구하는 시간 복잡도가 O(N)에서 O(1)로 감소한다.
• A[i]부터 A[j]까지의 배열 합을 합 배열 없이 구하는 경우, 최악의 경우는 i가 0이고 j가 N인 경우로 시간 복잡도는 O(N)이다.
  • 이런 경우 합 배열을 사용하면 O(1) 안에 답을 구할 수 있다.
• 합 배열은 다음과 같이 간단한 공식으로 만들 수 있다.

	S[i] = S[i-1] + A[i]

구간 합

• 이렇게 구현된 합 배열을 이용하여 구간 합 역시 쉽게 구할 수 있다. i에서 j까지 구간 합을 구하는 공식은 다음과 같다.

	// i에서 j까지 구간 합
	S[j] - S[i-1]

• 예를 들어, 배열 A의 A[2]부터 A[5]가지의 구간 합을 합 배열을 통해 구하는 과정은 다음과 같다.
  • A[0] + … + A[5]에서 A[0] + A[1]을 빼면 구간 합 A[2] + … + A[5]가 나오므로, S[5]에서 S[1]을 빼면 구간 합을 쉽게 구할 수 있다.

    S[5] = A[0] + A[1] + A[2]+ A[3]+ A[4]+ A[5]
    S[1] = A[0] + A[1]
    S[5] - S[1] = A[2]+ A[3]+ A[4]+ A[5]

• 합 배열만 미리 구해 두면 구간 합은 한 번의 계산으로 구할 수 있다.
• 합 배열과 구간 합 공식을 적재적소에 활용하면 코딩 테스트에서 시간 복잡도를 줄이는데 많은 도움이 될 것이다.

💡 배열의 값이 자주 바뀔 경우
이 경우에는 알고리즘에서 ‘인덱스 트리’를 사용한다. 뒤에서 설명된다.

Reference

[지금 무료] Do it! 알고리즘 코딩테스트 with JAVA 강의 - 인프런