개략
가중 그래프에서 최단 경로를 찾는 알고리즘
- 알고리즘을 수행하게 되면 모든 꼭짓점 쌍 간의 최단 경로의 길이(가중치의 합)가 저장된다.
알고리즘
-
"모든 정점"에서 "모든 정점"까지의 최단 거리를 구하는 알고리즘
- DP(Dynamic Programming) 형태이다.
-
1에서 N까지의 꼭짓점 V를 가진 그래프 G
-
i에서 j까지 (1,...,k)의 경유지를 거쳐 가는 최단경로
shortPath(i,j,k-1)shortPath(i,j,k)는 i에서 k-1까지 가는 경로와 k에서 j까지 가는 경로를 합친 것shortPath(i,j,k) = min( shortPath(i,j,k-1), shortPath(i,k,k-1) + shortPath(k,j,k-1))라고 재귀적 표현이 가능하다.
예제 백준 -11404 플로이드
문제
n(1 ≤ n ≤ 100)개의 도시가 있다. 그리고 한 도시에서 출발하여 다른 도시에 도착하는 m(1 ≤ m ≤ 100,000)개의 버스가 있다. 각 버스는 한 번 사용할 때 필요한 비용이 있다.
모든 도시의 쌍 (A, B)에 대해서 도시 A에서 B로 가는데 필요한 비용의 최솟값을 구하는 프로그램을 작성하시오
입력
첫째 줄에 도시의 개수 n(1 ≤ n ≤ 100)이 주어지고 둘째 줄에는 버스의 개수 m(1 ≤ m ≤ 100,000)이 주어진다. 그리고 셋째 줄부터 m+2줄까지 다음과 같은 버스의 정보가 주어진다. 먼저 처음에는 그 버스의 출발 도시의 번호가 주어진다. 버스의 정보는 버스의 시작 도시 a, 도착 도시 b, 한 번 타는데 필요한 비용 c로 이루어져 있다. 시작 도시와 도착 도시가 같은 경우는 없다. 비용은 100,000보다 작거나 같은 자연수이다.
시작 도시와 도착 도시를 연결하는 노선은 하나가 아닐 수 있다.
출력
N개의 줄을 출력해야 한다. i번째 줄에 출력하는 j번째 숫자는 도시 i에서 j로 가는데 필요한 최소 비용이다. 만약, i에서 j로 갈 수 없는 경우에는 그 자리에 0을 출력한다.
예제 입력
5
14
1 2 2
1 3 3
1 4 1
1 5 10
2 4 2
3 4 1
3 5 1
4 5 3
3 5 10
3 1 8
1 4 2
5 1 7
3 4 2
5 2 4출력
0 2 3 1 4
12 0 15 2 5
8 5 0 1 1
10 7 13 0 3
7 4 10 6 0풀이
우선 문제를 보면 N개의 도시에서 다른 도시로 가는 M개의 버스 노선이 있다.
그리고 각 버스는 사용하는데 비용이 든다.
여기서 한 도시에서 다른 도시로 가는 비용을 찾는 것이 아니라, 모든 도시에서 다른 모든 도시로 가는데 필요한 비용의 최소를 구하는 문제.
이 문제는 플로이드 워셜을 적용하면 간단하게 끝난다.
for (int i = 1; i <= N; i++) {
for (int j = 1; j <= N; j++) {
if (i == j) {
continue;
}
distances[i][j] = 1000000;
}
}우선 전체 거리를 저장할 배열에 1,000,000을 저장해준다. 전체 비용은 10만을 넘지 않으니 최대 값을 백만으로 저장했다.
그리고 A 도시에서 A도시로 가는경우가 없으니 continue;
for (int i = 0; i < M; i++) {
st = new StringTokenizer(br.readLine(), " ");
int start = Integer.parseInt(st.nextToken());
int end = Integer.parseInt(st.nextToken());
int time = Integer.parseInt(st.nextToken());
distances[start][end] = Math.min(distances[start][end], time);
}그리고 입력받은 버스 정보 M개에 대해서 A도시에서 B도시로 가는 기존 백만과 비용의 최솟값을 저장한다.
그러면 값이 없는 정보의 경우 백만으로 초기화 되있는다.
예제를 기준으로 테이블을 채우면
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 2 | 3 | 1 | 10 |
| 2 | INF | 0 | INF | 2 | IF |
| 3 | 8 | INF | 0 | 1 | 1 |
| 4 | INF | INF | INF | 0 | 3 |
| 5 | 7 | 4 | INF | INF | 0 |
로 배열이 초기화 된다.
여기서 모든 (A,B)의 쌍을 구하면
i에서 k, k에서 j를 가는 경우와 i,k를 가는 경우를 비교하면 된다
for (int k = 1; k <= N; k++) {
for (int i = 1; i <= N; i++) {
for (int j = 1; j <= N; j++) {
distances[i][j] = Math.min(distances[i][j], (distances[i][k] + adj[k][j]));
}
}
}