특이 적분

James Stewart 의 미적분학 1(일변수 함수의 미적분) 내용임을 밝힘니다.

특이적분 정의

1. 모든 수 $t\geqq a$ 에 대해 $\int_a^tf(x)dt$ 가 존재할 때, (아래 극한이 유한인 수로 존재하면) 다음과 같이 정의한다.

   $\int_a^\infty f(t)dt = \lim_{t \to \infty}\int_a^tf(t)dt$

2. 모든 수 $t\leqq b$ 에 대해 $\int_b^tf(t)dt$가 존재 할 때,(아래 극한이 유한인 수로 존재하면) 다음과 같이 정의한다.

   $\int_a^\infty f(t)dt = \lim_{t \to -\infty}\int_t^bf(t)dt$

   특이적분 $\int_a^\infty f(x)dx$와 $\int_{-\infty}^b f(x)dx$ 는 대응하는 극한이 존재할 때 수렴한다고 하며, 그 극한이 존재하지 않을 때 발산한다고 한다.

3. $\int_a^\infty f(x)dx$와 $\int_{-\infty}^a f(x)dx$가 모두 수렴할 때, 다음과 같이 정의한다.

   $\int_{-\infty}^\infty f(x)dx = \int_a^\infty f(x)dx + \int_{-\infty}^a f(x)dx$

   임의의 $a$를 선택할 수 있다.

보기 1

적분 $\int_1^\infty \frac{1}{x}dx$ 가 수렴하는지 발산하는지 판성하라.

solution

$\int \frac{1}{x}dx = \ln |x|$ 임으로 $F(\infty) - F(1)$을 계산하면

$\lim_{x \to \infty}\ln(x-1) = \infty$

$\ln 1 = 0$

$F(\infty) - F(1) = \infty$

고로 $\int_1^\infty \frac{1}{x}dx$ 는 발산한다.

보기 2

$\int_{-\infty}^0xe^xdx$의 값을 찾아라

solution

부분적분법에 따라 $\int f'(x)g(x)dx = f(x)g(x) - \int f(x)g'(x)dx$임으로 이를 이용하면 $x = f(x)$, $e^x = g(x)$ 로 놓고 계산함으로써 값을 구할 수 있다.

$\int e^x = xe^x - \int xe^x$

$e^x = xe^x - \int xe^x$

$\int xe^x = e^x(x-1)$

그러므로 $F(0) - F(-\infty)$ 의 값은

$F(0) = -1$
$F(-\infty) = 0$

곧

$\int_{-\infty}^0xe^xdx = -1$

보기 3

$\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1 + x^2}dx$의 값을 찾아라.

solution

$\frac{d}{dx}tan^{-1}x = \frac{1}{1+ x^2}$ 임을 이용하고 $tan^{-1}x$의 그래프가 아래와 같음을 알고 있다면 쉽게 풀 수 있다.

즉, $x \to \infty$일 때, $\frac{\pi}{2}$로 수렴하고 반대일 경우 $-\frac{\pi}{2}$로 수렴한다는 것이다.

정리 3번에 따라 $a$를 임의의 수인 0으로 잡으면 아래와 같이 식이 분리가 된다.

$\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1 + x^2}dx = \int_{-\infty}^0 \frac{1}{1 + x^2}dx + \int_{0}^\infty \frac{1}{1 + x^2}dx$

0 에서 $tan^{-1}0$이 0임으로

$\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1 + x^2}dx = \lim_{x \to \infty}tan^{-1}x + \lim_{x \to -\infty}tan^{-1}x$

$\lim_{x \to \infty}tan^{-1}x + \lim_{x \to -\infty}tan^{-1}x = \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) = \pi$

즉, $\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{1 + x^2}dx = \pi$ 임을 알 수 있다.