행렬식의 성질

Thm 5-4

한 행(또는 열)에 스칼라를 곱한 행렬의 행렬식
1. 한 행에 스칼라를 $c$를 곱하면 행렬식에도 $c$가 곱해진다.
2. 한 열에 스칼라를 $c$를 곱하면 행렬식에도 $c$가 곱해진다.

Proof

어떤 $n$차 행렬 $A$가 있을 때, $A$의 어떤 행 $i$에 스칼라 $c$를 곱한 행렬을 $B$라고 하자.

$det(B) = \sum_{j=1}^nca_{ij}C_{ij} = c\sum_{j=1}^na_{ij}C_{ij} = c|A|$

Thm 5-5 스칼라배한 행렬의 행렬식

$n$차 정방행렬 $A$에 스칼라 $k$를 곱하면 $|A| = k^n|A|$ 이다.

Proof

정리 5-4에 의하여 한 행에 스칼라를 곱할 경우 행렬식은 스칼라곱이 되는것을 알고 있다. 그러므로 $k$를 n차 정방행렬 $A$의 1 ~ n 행에 차례로 곱하고, $i$번째 행이 곱해진 행렬을 $B_i$로 정의한다면

$det(B_i) = k(det(B_{i-1})), i=\{2,3....n\}$와 같다.

예를 들어 n이 2차 행렬이라면

$det(B_2) = k(det(B_1)) = k(k(det(A))$ 와 같다.

그러므로 $det(B_n) = k^ndet(A)$ 와 같다.(재귀)

Thm 5-6 한 행(또는 열)만 서로 다른 두 행렬을 더하여 만든 행렬의 행렬식

1. $r$ 행을 제외하고 서로 같은 두 n차 정방행렬 행렬 $A_1, A_2$가 있다고 했을 대, 행렬 $B$의 $r$행이 $A_1, A_2$의 $r$ 행의 합과 같고, 나머지 행은 $A_1, A_2$와 같을 때, $|B| = |A_1| + |A_2|$ 이다.
2. 열에대해서도 동일하다.

proof

n차 정방행렬 $A_1, A_2$가 있다고 했을 때, r행 또는 r열이 다르고 나머지가 같다. 그렇다면

$|A_1| = \sum_{j=1}^na_{rj}C_{rj}$

$|A_2| = \sum_{j=1}^nb_{rj}C_{rj}$

$|A_1| + |A_2| = \sum_{j=1}^na_{rj}C_{rj} + \sum_{j=1}^nb_{rj}C_{rj}$

$|A_1| + |A_2| = \sum_{j=1}^n(a_{rj} + b_{rj})C_{rj} = |B|$

$|B| = |A_1| + |A_2|$

Thm 5-7 두 행(또는 열)을 서로 교환한 행렬의 행렬식

n차 정방행렬 $A$의 임의의 두 행 또는 두열을 교환하여 만든 행렬을 $B$라고 하면,
$|B| = -|A|$ 가 성립한다.

proof

두행을 교환하는 n차 기본행렬의 행렬식은 -1이다.

그에따라 $B = EA$ 로 $E$ 는 n차 단위행렬로 i행과 r행을(또는 열을) 바꾼 기본행렬이다.

$det(B) = det(EA) = det(E)det(A) = -det(A)$ 임을 알 수 있다.

※앞에 배웠던 내용이 섞여 앞에 나오는 경우가 있을 것이다.

Thm 5-8 중복된 행(또는 열)을 갖는 행렬의 행렬식

1. 중복된 두개의 행을 갖는 행렬의 행렬식은 0이다.
2. 중복된 두개의 열을 갖는 행렬의 행렬식은 0이다.

proof
Thm 5-7에 따라 두 행을 교환하면 $|B| = -|A|$일을 알 수 있다. 그런데, 두 행이 동일하다면 $|B| = |A| = -|A|$임으로 성립하기 위해서는 행이 중복된 행렬 B의 행렬식은 반드시 0이 된다.

Thm 5-9 행(또는 열)의 스칼라 배를 다른 행(또는 열)에더한 행렬의 행렬식

(1) 한 행의 스칼라배를 다른 행에 더해도 행렬식은 바뀌지 않는다.
(2) 한 열의 스칼라배를 다른 행에 더해도 행렬식은 바뀌지 않는다.

Proof
기본행렬을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다. elementary operation 3번임의 기본행렬은 삼각행렬이므로, 하삼각 또는 상삼각 행렬의 행렬식은 주대각성분의 곱임으로 1이 된다. 그러므로

$det(B) = det(EA) = det(A)$ 이다. 즉, 행렬식은 변하지 않는다.

구체적으로 하자면 어떤 n 차 정방 행렬 $A$가 있고, $A$에서 elementary operation 3을 r행에 대해 s행으로부터 수행한 행렬을 $B$라고 정의하면

$B = \begin{bmatrix}a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & &\\ a_{r1} + ka_{s1} & \cdots & a_{rn} + ka_{sn} \\ \vdots & & \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn}\end{bmatrix}$

정리 5-6에 따라 $|B|$는 아래와 같이 정의 될 수있다.

$det(B) = det(A) + det\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & &\\ ka_{s1} & \cdots & ka_{sn} \\ a_{s1} & \cdots & a_{sn} \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$

정리 5-8번에 의하여 중복된 행이 존재할 경우 행렬식은 0이 됨으로 $|B| = |A|$가 된다.

여러가지 행렬에 대한 행렬식의 성질

Thm 5-10 전치 행렬의 행렬식

행렬 $A$와 전치행렬 $A^\top$의 행렬식은 같다.

proof
행이 열이되는 것임으로 여인수 전개에 따라, 동일한 행렬식을 얻게 된다.

Thm 5-11 단위행렬의 행렬식

단위행렬의 행렬식은 1이다.

따로 증명은 하지 않겠다.

Thm 5-13 기본 행렬을 곱한 행렬의 행렬식

$E$가 기본행렬이고 $A$가 $E$와 같은 크기의 행렬일 때, $det(EA) = det(E)det(A)$이다.

elemenatry operation 을 수행하는 기본 행렬 3가지의 행렬식
1. 두 행을 서로 바꾸는 경우 : -1
2. 한 행에 $k$ 스칼라를 곱하는 경우 : k
3. 한 행에 $k$ 스칼라를 곱해 다른 행에 더하는 경우 : 1

Thm 5-14 성분이 모두 0인 행(또는 열)을 포함하는 행렬의 행렬식.

성분이 모두 0인 행 또는 열을 포함한 n차 정방행렬 $A$의 행렬식은 0이다.

Proof
라이프니츠 공식에 따라 임의의 행 r이 모두 영일 경우

$|A| = \sum_{\sigma\in S_n}sgn(\sigma)a_{1\sigma_1}a_{2\sigma_2}...a_{r\sigma_r}...a_{n\sigma_n}$

반드시 $a_{r\sigma_r} = 0$임으로 $|A|$는 0이다. 라이프니츠 공식은 따로 설명하지 않는다.

Thm 5-15 행렬 곱의 행렬식

행렬 A와 B에 대해 det(AB) = det(A)det(B)이다.

proof
$A$가 가역행렬일 경우 기본행렬의 행렬곱으로 표현 할 수 있다.

$|AB| = |E_nE_{n-1}...E_1B|$

정리 5-13에 따라 기본행렬과의 행렬곱의 행렬식은 분리 할 수 있음으로

$|AB| = |E_nE_{n-1}...E_1||B|$이다.

그러므로 $|AB| = |A||B|$이다.

반면 $A$가 비가역행렬일 경우, $|A| = 0$이다. 만일 $|AB| \neq 0$ 이라면, 어떤 행렬 $M$이 존재해서 $ABM = I$가 되어, $BM = A^{-1}$이 됨으로 모순임으로 $|AB| = |A||B| = 0$ 임으로

$|AB| = |A||B|$ 가 참임을 알 수 있다.

Thm 5-17 삼각행렬의 행렬식

삼각행렬의 행렬식은 주댁각성분의 곱과 같다.

Thm 5-18 대각행렬의 행렬식

대각행렬의 행렬식은 주대각성분의 곱과 같다.

proof (5-17, 5-18)
라이프니츠 공식에 따르면,

$|A| = \sum_{\sigma\in S_n}sgn(\sigma)a_{1\sigma_1}a_{2\sigma_2}...a_{r\sigma_r}...a_{n\sigma_n}$
에서 $sgn(\sigma)a_{1\sigma_1}a_{2\sigma_2}...a_{r\sigma_r}...a_{n\sigma_n}$가 0이 되지 않는 조건은 $\sigma = (1,2,3,...n)$ 일때 뿐임으로 삼각행렬의 행렬식은 주대각성분의 곱과 같다.

Thm 5-19 반대칭 행렬의 행렬식

홀수 차, 즉 (2n + 1)차 정방행렬이 반대칭 행렬이면 행렬식은 0이다.

Proof

반대칭 행렬 $A = -A^\top$의 행렬식은 $|A| = |A^{T}| = |-A| = (-1)^n|A|$임으로, n이 홀수 일 경우 $|A| = -|A|$ 임으로 $|A| = 0$이다. n이 짝수일 경우 행렬식이 0이 아닐 수 있다.

Thm 5-20 역행렬의 행렬식

역행렬 $A^{-1}$의 행렬식 $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$이다.

proof
$AA^{-1} = I$임으로 $|AA^{-1} = |A||A^{-1}| = 1$ 고로 $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$이다.