행렬식의 기하학적 의미

이 내용은 이건명의 응용이 보이는 선형대수학에서 발췌했음을 밝힙니다.

Theorem 5-26 평행사변형의 넓이와 행렬식

2차원 공간에서 $(0,0), (a,b), (c,d), (a + c, b + d)$를 꼭지점으로 하는 평행사변형의 넓이는 다음과 같다.

$\begin{vmatrix}det\begin{pmatrix}\begin{bmatrix}a & b \\c & d\end{bmatrix}\end{pmatrix}\end{vmatrix} = |ad-bc|$

$2\times 2$ 행렬 $A = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}$에 2차원 좌표 $(0, 0), (1,0), (0,1), (1,1)$에 해당하는 벡터를 행렬곱하면 다음과 같이 좌표가 변환된다.

$A\begin{bmatrix}0 \\ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 0\end{bmatrix}$

$A\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a \\ c\end{bmatrix}$

$A\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}b \\ d\end{bmatrix}$

$A\begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a + c \\ b + d\end{bmatrix}$

평행사변형의 넓이는

$(a + c)(b + d) - \frac{1}{2}b(a + c) - \frac{1}{2}c(b + d) - \frac{1}{2}b(a + c) - \frac{1}{2}b(a + c) = ad - bc$

즉, 행렬식의 절대값과 평행사변형의 넓이와 같아진다.

다른방식으로도 구해보자. (a, b), (c,d) 를 알고 있다면, 두 사이의 각을 알 수 있다. $\arccos(\frac{a\cdot b}{|(a, b)||(c, d)|}) = \theta$

평행사변형의 넓이는 밑변의 길이와 높이로 알 수 있음으로 두 벡터의 사이각 $\theta$를 알고 있다면 $|(a, b)|\sin\theta = h$로 구할 수 있고 $h * |(b,d)| = \begin{vmatrix}det\begin{pmatrix}\begin{bmatrix}a & b \\c & d\end{bmatrix}\end{pmatrix}\end{vmatrix}$ 와 동일함을 알 수 있다.

예를 들어 (0, 0), (3, 4)와 (6, 7)과 (3 + 6, 4 + 7)의 꼭지점을 가진 평행사변형의 넓이를 구하려고 한다면

아래와 같이 두가지 방식으로 구할 수 있다.

import numpy as np
import math

a = np.array([3, 4])
b = np.array([6, 7])
M = np.array([a, b]) # a, b로 만든 행렬

theta = math.acos((a @ b) / (math.sqrt(a @ a) * math.sqrt(b @ b)))

h = math.sqrt(a @ a) * math.sin(theta)

abs(np.linalg.det(M)) # 2.999999

abs(h * math.sqrt(b @ b)) # 2.99999

물론 2차원에서는 간단하게 행렬식만으로 넓이를 구할 수 있지만 아래와 Thm 5-27를 보면 다차원에서 두 벡터가 가지는 평행사변형의 넓이를 행렬식으로는 구할 수 없음을 알 수 있다.

Theorem 5-27 평행 육면체의 부피와 행렬식

3차원 공간에서 $(0,0,0), (a,d,g), (b,e h), (c,f,i), (b+c, e+f, h + i), (a + c, d+c, g+i), (a+b, d + c, g + h), (a + b+c, d+ e + f, g +h +i)$를 꼭지점으로 하는 평행육면체의 부피는 다음과 같다.

$\begin{vmatrix}det\begin{pmatrix}\begin{bmatrix}a & d & g \\b & e & h \\ c & f & i\end{bmatrix}\end{pmatrix}\end{vmatrix} = |aei- ahf + bdi -bfg + cdh - cge|$

즉, Theorem 5-27에 따라 세 벡터를 가진 평행육면체의 부피를 구할 수 있지만, n차 벡터가 2개가 주어졌을 때, 그 두벡터가 나타내는 평행사변형의 넓이는 구할 수 없다. 이때는 위와 같은 높이를 구하는 방법으로 구할 수 있으며, 3차원 이상일 경우에는 outer product vector의 길이로 구하는 방법이 있다.

또한 Theorem 5-27를 대신할 방법으로 삼중곱을 이용하여 구할 수 있다.

$|(a,d,g) \cdot ((b,e,h) \times (c,f, i))| = \begin{vmatrix}det\begin{pmatrix}\begin{bmatrix}a & d & g \\b & e & h \\ c & f & i\end{bmatrix}\end{pmatrix}\end{vmatrix}$

import numpy as np
import math

a = np.array([3, 4, 6])
b = np.array([6, 7, 9])
c = np.array([1, 1, 4])
M = np.array([a, b, c])

print(abs(a @ np.cross(b, c))) # 9
print(abs(np.linalg.det(M))) # 8.99999

※ Thm 5-26, 27 에 따르면, 26의 경우 단위 정육면체와 비교하여 평행사변형의 넓이의 변화율을 나타내며, 27의 경우 단위 정육면체와의 부피의 변화율을 나타낸다.

Theorem 5-28 동차 연립방정식과 행렬식

동차 연립선형방정식이 자명해만을 가지려면 계수행렬의 행렬식은 0이 아니어야 한다.

증명

$Ax = 0$ 으로 표현되는 자명해만을 가지는 동차연립방정식이 있다고 하면, $AA^{-1} = I$가 되는 역행렬이 존재해야 한다. 역행렬 역시 기본행렬로 표현 할 수 있음으로

$E_nE_{n-1}...E_2E_1A = I$

기본 행렬의 행렬식은 항상 0이 아니고, $det(AB) = det(A)det(B)$ 임을 감안하면

$det(E_nE_{n-1}...E_2E_1A) = 1$

$det(E_n)det(E_{n-1})...det(E_2)det(E_1)det(A) = 1$

즉, $det(A)$가 0이 되기 위서는 기본행렬들의 행렬식은 0이 되어야 하는데, 모순임으로 $det(A)$는 0이 아니다.

Theorem 5-29 3차원 공간의 평면의 방정식과 행렬식

3차원 공간의 서로 다른 세점 $(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2), (x_3, y_3, z_3)$를 지나는 평면의 방정식 $ax + by + cz + d = 0$ 에 대해 다음이 성립한다.

$det\begin{pmatrix}\begin{bmatrix}x & y & z & 1 \\ x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1\end{bmatrix}\end{pmatrix} = 0$

증명

평면의 방정식에 세점을 대입해 보면 아래와 같이 나타낼 수있다.

$\begin{bmatrix}x & y & z & 1 \\ x_1 & y_1 & z_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & z_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & z_3 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a \\ b \\ c \\ d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

자명해를 가지기 위해서는 Thm 5-29 에 따라 행렬식이 0이 아니어야 하는데, 평면의 방정식은 자명해를 가지지 않음으로, (여러 해를 가질 수 있음으로) 행렬식은 0이다.

Theorem 5-30 2차곡선의 방정식과 행렬식

3차원 공간의 서로 다른 세점 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$를 지나는 이차곡선의 방정식 $a(x^2 + y^2) + bx + cy + d = 0$ 에 대해 다음이 성립한다.

$det\begin{pmatrix}\begin{bmatrix}x^2 + y^2 & x & y & 1 \\ x_1^2 + y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2 + y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2 + y_3^2 & x_3 & y_3 & 1\end{bmatrix}\end{pmatrix} = 0$

증명은 Thm 5-29와 동일함으로 생략한다.