[2주차 Day1] 01강: 선형시스템

pengu·2021년 5월 4일
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노션 기록

선형 시스템 복습

선형 시스템의 예

  • 가장 간단한 선형시스템

    3x=63x = 6

  • 연립일차방정식

    {3x+y=2x2y=3\begin{cases} 3x + y = 2\\ x - 2y = 3 \end{cases}

    그동안 우리는 연립일차방정식, 즉 선형 시스템을 소거법(변수를 소거하는 형식)으로 풀었음

    • 풀이

      6x+2y=4x2y=37x=7x=1, y=1\begin{aligned} 6x+2y&=4\\ x-2y&=3\\ \end{aligned} \\ 7x=7 \\ \therefore x = 1,\ y = -1

식과 변수가 더 많아지게 된다면??  → 소거법으로 풀기 힘들어짐



선형대수(linear algebra)의 목표

어떤 연립일차방정식, 즉 어떤 linear system(선형시스템) 문제라도 정형적인 방법(Ax=bA\rm x=b)으로 표현하고 해결하는 방법을 배우는 것


A1Ax=A1bx=A1b\begin{aligned} A^{-1} Ax &= A^{-1}b \\ x &= A^{-1}b \end{aligned}

mm개의 linear equation(선형 방정식)과 nn개의 unknowns(미지수)로 구성된 연립일차방정식을 m×nm \times n linear system 이라고 함


선형방정식과 비선형방정식의 구분

선형방정식은 방정식을 구성하는 미지수의 차수가 모두 1

⚠️ 주의! xy+z=3xy + z = 3 → 비선형

선형시스템의 대수적 표현

선형시스템을 Ax=bA\rm x = b로 표현하기

  1. 선형시스템의 unknowns(미지수)를 모아 column vector(열벡터) x 로 표현한다.
  2. 선형시스템의 linear equation(선형방정식)에 대해 다음을 수행한다.
    1. coefficients(계수)를 모아 A의 row vector(행벡터)로 표현한다.
    2. constants(상수)를 모아 b에 표현한다.
  • 예제

    #1.

    3x1+x2+x3=4x12x2x3=13x_1 + x_2 + x_3 = 4 \\ x_1 - 2x_2 - x_3 = 1

    2 X 3 선형 시스템이다. 대수적 표현으로 나타내보면 아래와 같다.

    [311121][x1x2x3]=[41]\begin{bmatrix} 3 & 1 & 1\\ 1 & -2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix}

    #2.

    x1+2x2x3=3x2+2x3x4=2x3+2x4x5=5-x_1 + 2x_2 - x_3 = 3 \\ -x_2 + 2x_3 - x_4 = 2 \\ -x_3 + 2x_4 - x_5 = 5
    • 수식 쓸 때 좋은 습관

아래와 같이 쓰면 구조적으로 더 파악하기 쉽다

x1 + 2x2  x3=3x2 + 2x3  x4=2 x3 + 2x4  x5=5\begin{aligned} -x_1 \ + \ 2x_2 \ - \ &x_3 &= 3 \\ -x_2 \ + \ &2x_3 \ - \ x_4 &= 2 \\ -\ &x_3 \ + \ 2x_4 \ - \ x_5 &= 5 \end{aligned}

3 X 5 선형 시스템이다. 대수적 표현으로 나타내보면 아래와 같다.

[121000121000121][x1x2x3x4x5]=[325]\begin{bmatrix} -1 & 2 & -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix}

m×nm \times n 선형시스템의 Ax=bA\rm x=b 표현 정리

  • 식은 행이고, 행은 식이다 (linear equation row)
  • mm은 linear equation(선형방정식)의 개수이다
  • nn은 unknowns(미지수)의 개수이다
  • AAm×nm \times n 행렬이다
  • x\rm xnn-벡터이다
  • b\rm bmm-벡터이다
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