[2주차 Day1] 01강: 선형시스템

노션 기록

선형 시스템 복습

선형 시스템의 예

• 가장 간단한 선형시스템

  $3x = 6$

• 연립일차방정식

  $\begin{cases} 3x + y = 2\\ x - 2y = 3 \end{cases}$

  그동안 우리는 연립일차방정식, 즉 선형 시스템을 소거법(변수를 소거하는 형식)으로 풀었음

  • 풀이

    $\begin{aligned} 6x+2y&=4\\ x-2y&=3\\ \end{aligned} \\ 7x=7 \\ \therefore x = 1,\ y = -1$

식과 변수가 더 많아지게 된다면??  → 소거법으로 풀기 힘들어짐

선형대수(linear algebra)의 목표

어떤 연립일차방정식, 즉 어떤 linear system(선형시스템) 문제라도 정형적인 방법($A\rm x=b$)으로 표현하고 해결하는 방법을 배우는 것

$m$개의 linear equation(선형 방정식)과 $n$개의 unknowns(미지수)로 구성된 연립일차방정식을 $m \times n$ linear system 이라고 함

선형방정식과 비선형방정식의 구분

선형방정식은 방정식을 구성하는 미지수의 차수가 모두 1임

⚠️ 주의! $xy + z = 3$ → 비선형

선형시스템의 대수적 표현

선형시스템을 $A\rm x = b$로 표현하기

1. 선형시스템의 unknowns(미지수)를 모아 column vector(열벡터) x 로 표현한다.
2. 선형시스템의 linear equation(선형방정식)에 대해 다음을 수행한다.
   1. coefficients(계수)를 모아 A의 row vector(행벡터)로 표현한다.
   2. constants(상수)를 모아 b에 표현한다.

• 예제

  #1.

  $3x_1 + x_2 + x_3 = 4 \\ x_1 - 2x_2 - x_3 = 1$

  2 X 3 선형 시스템이다. 대수적 표현으로 나타내보면 아래와 같다.

  $\begin{bmatrix} 3 & 1 & 1\\ 1 & -2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix}$

  #2.

  $-x_1 + 2x_2 - x_3 = 3 \\ -x_2 + 2x_3 - x_4 = 2 \\ -x_3 + 2x_4 - x_5 = 5$
  • 수식 쓸 때 좋은 습관

아래와 같이 쓰면 구조적으로 더 파악하기 쉽다

$\begin{aligned} -x_1 \ + \ 2x_2 \ - \ &x_3 &= 3 \\ -x_2 \ + \ &2x_3 \ - \ x_4 &= 2 \\ -\ &x_3 \ + \ 2x_4 \ - \ x_5 &= 5 \end{aligned}$

3 X 5 선형 시스템이다. 대수적 표현으로 나타내보면 아래와 같다.

$\begin{bmatrix} -1 & 2 & -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 & 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix}$

$m \times n$ 선형시스템의 $A\rm x=b$ 표현 정리

• 식은 행이고, 행은 식이다 (linear equation $↔$ row)
• $m$은 linear equation(선형방정식)의 개수이다
• $n$은 unknowns(미지수)의 개수이다
• $A$는 $m \times n$ 행렬이다
• $\rm x$는 $n$-벡터이다
• $\rm b$는 $m$-벡터이다