[2주차 Day3] 10강: 통계학, 기본개념

pengu·2021년 5월 4일

배움기록 수학 통계

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노션 기록

통계학(Statistics)

데이터의 수집(collection), 구성(organization), 분석(analysis), 해석(interpretation), 표현(presentation)에 관한 학문

통계학은 두 가지로 구분될 수 있다:

기술통계학 (descriptive statistics)
- 수집된 데이터를 표현하고, 설명하는 통계학
추측통계학 (inferential statistics)
- 수집된 데이터를 분석하고 추측, 추론하는 통계학

기본 용어 정리

모집단(population)
- 어떤 질문이나 실험을 위해 관심의 대상이 되는 개체나 사건의 집합
- ex. 전교생의 키, ...
  
  그러나, 모집단 전체의 데이터로 뭔가를 파악하기에는 너무 양이 많고 어려움!
  
  따라서, 모집단의 수치적인 특성(=모수)을 사용하여 데이터를 파악함
모수(parameter)
- 모집단의 수치적인 특성
- ex. 키의 평균, 분산, 표준편차, ...
  
  또한, 모집단 자체가 너무 큰 경우도 있음(예: 전국민의 키)
  
  이 경우 데이터의 수집 자체에 비용과 시간이 너무 많이 들어감!
  
  따라서, 우리가 알고싶은 모집단의 특성(=모수)를 추론하기 위하여 모집단의 일부(=표본)를 선택함!
표본(sample)
- 모집단에서 선택된 개체나 사건의 집합
- ex. 교내 30명 학생의 키, ...

도수(Frequency)

정의
- 어떤 사건이 실험이나 관찰로부터 발생한 횟수
- ex. 키가 160~170cm인 학생이 몇 명인지, ...
표현방법
- 도수분포표(Frequency Distribution Table)
- 막대그래프(Bar graph)
  - 질적 자료
  - 수치적인 자료가 아니라 범주로 구분된 자료
  - ex. (남, 여), (소설, 시, 에세이, ...)
- 히스토그램(Histogram)
  - 양적 자료
  - 수치적인 자료
  - ex. 학생들의 키, ...

예
**<질적 데이터>**

![](https://velog.velcdn.com/images%2Fpengu%2Fpost%2F53555910-8324-41e6-87aa-671b97ebdfb2%2Fimage.png)
각 데이터는 범주로 구성되어 있음
→ 도수분포표, 막대그래프
도수분포표

막대그래프

도수분포표에서도 데이터의 분포를 알 수 있지만, 막대그래프의 경우 한눈에 데이터의 분포(어느 알파벳이 많은지, 적은지)를 알 수 있는 장점이 있음

<양적 데이터>

각 데이터는 같은 값을 가질 확률이 매우 적음, 구간을 정해서 도수를 파악
→ 도수분포표, 히스토그램

히스토그램

막대그래프와 히스토그램은 유사하게 생겼지만,
막대그래프의 경우 막대의 순서가 상관없고 이산적(경계가 떨어져 있음)이지만
히스토그램의 경우 막대의 순서가 중요하고 연속적임(경계가 붙어있음)

줄기 - 잎 그림(Stem and Leaf Diagram)

양적 자료를 줄기와 잎으로 구분

자료들을 정렬한 다음 숫자들을 잘라(예: 앞에 두개 숫자) 범주를 만든다(=줄기)
나머지 부분들은 나열한다(=잎)

데이터의 분포를 시각적으로 알 수 있고, 어떤 값들이 있는지 파악할 수 있다

16.0 16.7 17.0 17.3 17.5 17.5 ... 17.8
18.0 18.0 18.0 18.0 18.2 18.2 ...
... 51.0

상대도수(Relative Frequency)

도수를 전체 원소의 수로 나눈 것

Python 모듈 설치

통계에 필요한 파이썬 모듈

pip install numpy scipy matplotlib pandas sympy nose

평균(Mean)

{x_1 + x_2 + \cdots + x_n \over n} = {1 \over n} \sum^n_{i=1} x_i

모평균 $\mu$
- 모집단 전체 자료일 경우
표본 평균 $\bar x$
- 모집단에서 추출한 표본일 경우

중앙값 (Median)

평균의 경우 극단 값(outlier)의 영향을 많이 받음!!

중앙값(Median)이란?

주어진 자료를 높은 쪽 절반과 낮은 쪽 절반으로 나누는 값을 의미
자료를 순서대로 나열했을 때 가운데 있는 값

자료의 수 = $n$ 일 때,

$n$ 이 홀수 : $(n+1) \over 2$ 번째 자료값
$n$ 이 짝수 : $n\over 2$ 번째와 ${n \over 2} +1$ 번째 자료값의 평균

분산(Variance)

편차의 제곱의 합을 자료의 수로 나눈 값

편차 : 값과 평균의 차이
값들이 평균을 기준으로 얼마나 퍼져 있는지? (산포 정도)를 알고 싶을 때 사용
모분산
- 자료가 모집단일 경우
  $\sigma^2 = {1 \over N} \sum^N_{i=1}(x_i - \mu)^2$
표본 분산
- 자료가 표본일 경우
- 이 때, 자료의 개수 $n$ 이 아닌 $n-1$ 로 나누는 것에 주의!
  $s^2 = {1 \over n-1} \sum^n_{i=1}(x_i - \bar x)^2$

b의 분산이 매우 큰 이유는 극단값 때문! (제곱까지 했기 때문에 더 심함)

표준편차(Standard Deviation)

분산의 양의 제곱근

모표준편차(population standard deviation)
$\sigma = \sqrt{{1\over N}\sum^N_{i=1}(x_i-\mu)^2}$
표본표준편차(sample standard deviation)
$s = \sqrt{{1\over n-1}\sum^n_{i=1}(x_i-\bar x)^2}$