거스름돈 | Lv.3 | JS

문제 링크

문제 설명

Finn은 편의점에서 야간 아르바이트를 하고 있습니다. 야간에 손님이 너무 없어 심심한 Finn은 손님들께 거스름돈을 n 원을 줄 때 방법의 경우의 수를 구하기로 하였습니다.

예를 들어서 손님께 5원을 거슬러 줘야 하고 1원, 2원, 5원이 있다면 다음과 같이 4가지 방법으로 5원을 거슬러 줄 수 있습니다.

• 1원을 5개 사용해서 거슬러 준다.
• 1원을 3개 사용하고, 2원을 1개 사용해서 거슬러 준다.
• 1원을 1개 사용하고, 2원을 2개 사용해서 거슬러 준다.
• 5원을 1개 사용해서 거슬러 준다.

거슬러 줘야 하는 금액 n과 Finn이 현재 보유하고 있는 돈의 종류 money가 매개변수로 주어질 때, Finn이 n 원을 거슬러 줄 방법의 수를 return 하도록 solution 함수를 완성해 주세요.

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제한 사항

• n은 100,000 이하의 자연수입니다.
• 화폐 단위는 100종류 이하입니다.
• 모든 화폐는 무한하게 있다고 가정합니다.
• 정답이 커질 수 있으니, 1,000,000,007로 나눈 나머지를 return 해주세요.

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입출력 예

n	money	result
5	[1,2,5]	4

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풀이

문제를 보자마자, 전체 경우를 따지는 재귀함수로 풀어내는 방법이 생각났다.
(하지만, MOD 연산이 있어서, 재귀함수가 아닐 수 도 있다는 생각이 곧바로 따라왔다.)

그래도 일단, 재귀함수로 풀어보았다.
전체 경우를 따지는 방법은 불량 사용자 문제와 마찬가지로 풀어낼 수 있다.

1차 풀이 (정확성 통과, 효율성 실패)

function solution(n, money) {
    const MOD = 1000000007;
    const allCases = new Set;
    const len = money.length;
    
    function Recursive(left, cases) {       
        if (left === 0) {
            allCases.add(cases.sort().join(''));
            return;
        }  
        
        for (let i = 0; i < len; i++) {
            if (money[i] <= left) {
                Recursive(left-money[i], [...cases, money[i]])
            }
        }
        return;
    }
    
    Recursive(n, []);
    return allCases.size % MOD
}

사실상 MOD 연산을 하지 않아도 채점 결과는 동일했다.
따라서, 풀이는 맞지만, 출제 의도와는 다른 풀이라고 생각한다.

2차 풀이 (DP 풀이, 성공)

DP풀이를 생각해보려면 주어진 경우를 분석할 필요가 있다.
$f(0)=1$, $f(1)=1$, $f(2)=2$, $f(3)=2$, $f(4)=3$, $f(5)=4$, $f(6)=5$, $...$

1, 2, 5 로 구성된 경우 더 구해보면
$f(7) = f(7-1) + f(7-2) + f(7-5)$ 일 것 같지만, 계산결과는 다르다.
우변의 세개에 중복되는 경우가 생기게 된다.
따라서, 단순히 $n$이 커감에 따라 money 의 모든 요소를 빼서 더하면 안된다.

그래서, money 의 요소를 기준으로 순회하면서 경우를 따져보자.

우선 동전 1로 n 까지 만들 수 있는 경우는 모두 한가지이다.

1 : $[1]$
2 : $[1, 1]$
3 : $[1, 1, 1]$
4 : $[1, 1, 1, 1]$
5 : $[1, 1, 1, 1, 1]$

그 이후, 동전 2 를 사용해서 n 까지 만들 수 있는 경우를 따지면,

1 : $[1]$
2 : $[1, 1] + [2]$
3 : $[1, 1, 1] + [1, 2]$
4 : $[1, 1, 1, 1] + [1, 1, 2], [2, 2]$
5 : $[1, 1, 1, 1, 1] + [1, 1, 1, 2], [1, 2, 2]$

위와 같이 된다. ($+$ 이후가 추가된 것)

이렇게 동전을 기준으로 반복하며 DP를 채워나가면 된다.

따라서, 풀이는 다음과 같다.

function solution (n, money){
    const MOD = 1000000007;
    const dp = new Array(n + 1).fill(0);
    dp[0] = 1;
    
    for(let elem of money){
    	for(let i = elem; i < n+1; i++){
        	dp[i] = (dp[i] + dp[i - elem]) % MOD;
        }
    }
    
    return dp[n];
}

당연히 순차적으로 DP 배열을 채워나갈 생각으로 접근하면 안풀리는 DP문제이다...