순열(Permutation)

polynomeer·2020년 4월 20일
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순열(Permutation)

순열은 임의의 수열을 서로 다른 순서로 섞는 것이다. 순열은 브루트 포스 문제를 풀어야 하는데 순서가 매우 중요한 의미를 가질 때 사용할 수 있다. 예를 들어, 123과 132가 서도 다른 의미를 가지는 경우가 그렇다. N개의 수에 대한 순열을 사전순으로 나열하면 총 N!개가 나온다. 숫자로만 이루어진 4자리 비밀번호를 찾는 다면 0000에서부터 9999까지 0 1 2 ... 9999 까지 나열하면 될 것이다.

• 임의의 수열을 다른 순서로 섞는 연산
• A=[1,5,6]인 경우[1,5,6],[1,6,5],[5,1,6],[5,6,1],[6,1,5],[6,1,6]이 순열이다.

• 크기가N인수열의서로다른순열은총N!개가있다.
• 모든순열을사전순으로나열했을때
• A=[1,2,3]인경우사전순은다음과같다
• 123 132 213 231 312 321

다음 순열(Next Permutation)

모든 순열을 찾기 위해서는 우선 첫 순열과 마지막 순열을 찾고 첫 순열에서 마지막 순열이 나올때 까지 다음 순열, 다음 순열, 다음 순열, ... 마지막 순열까지 반복하면 모든 순열을 만들 수 있다. C++과 Python은 이미 라이브러리에 구현되어있지만 JAVA는 직접 구현해야한다.

• 사전순으로다음에오는순열과이전에오는순열을찾는방법
• C++ STL의 algorithm에서 next_permutation과 prev_permutation이 구현

예를 들어, N = 4 이면, A[1,2,3,4] -> ... -> A[4,3,2,1]
만들 수 있는 순열의 수는 N! = 24이고 그 수를 나열하면 다음과 같다.

1234 1243 1324 1342 1423 1432
2134 2143 2314 2341 2413 2341 2413 2431 ...

순열을 첫 순열부터 차례대로 만들어 간다고 하면 모든 순열은 그 앞의 어떤수로 시작하는 마지막순열 이 된다. 그리고 그 다음순열은 그 다음의 어떤수로 시작하는 첫순열 이 된다.

첫 순열: 오름차순, 마지막 순열 : 내림차순

1. A[i-1] < A[i]를 만족하는 가장 큰 i를 찾는다. -> N
2. j≥i이면서 A[j] > A[i-1]를 만족하는 가장 큰 j를 찾는다. -> N
3. A[i-1]A[j]를 swap한다. -> 1
4. A[i]부터 순열을 뒤집는다. -> N

이 과정을 반복하는 시간복잡도는 O(N)이다.

A=[7,2,3,6,5,4,1] 로 구성된 순열에서 위 과정을 살펴보면 다음과 같다.

  1. • 순열 : 7 2 3 6 5 4 1
    A[i-1] < A[i]를 만족하는 가장 큰 i를 찾는다. -> A[4] = 6
    • 즉, 순열의 마지막 수에서 끝나는 가장 긴 감소수열을 찾아야한다.
    • 순열 : 7 2 3 6 5 4 1

7 2 3 6 5 4 1
< < < > > >

맨뒤에서 앞으로, 1부터 인접한 수를 하나씩 비교하면 6에서 앞의 3보다 크기때문에 감소수열이 끝난다. 따라서 6이 위치한 3번 인덱스가 i가 된다.
총 N개를 비교하므로 복잡도는 O(N)
723으로 시작하는 마지막 순열 다음에는 -> 72?로 시작하는 첫순열 이 온다.

  1. • 순열 : 7 2 3 6 5 4 1
    j≥i이면서 A[j] > A[i-1]를 만족하는 가장 큰 j를 찾는다.
    • 순열 : 7 2 3 6 5 4 1

1번에서 찾은 감소수열이 끝나는 지점(i)에서 부터 뒤로 탐색하면서 A[i-1]보다는 크면서 그 중에서 맨뒤에 있는 A[j]를 찾는다. 이 예시에서는 4가 3보다 크면서 맨 뒤에 있으므로 A[j] = 4가 된다.

  1. • 순열 : 7 2 3 6 5 4 1
    A[i-1]과 A[j]를 swap한다
    • 순열 : 7 2 4 6 5 3 1

4와 3을 swap하면 7 2 4로 시작하는 첫 순열이 시작된다. 그런데 뒷부분이 6 5 3 1로 내림차순이다. 이 순열은 7 2 4로 시작하는 마지막 순열이 된다. 이것을 첫순열로 바꾸어 주기 위해서는 뒷부분을 뒤집으면 된다.

  1. • 순열 : 7 2 4 6 5 3 1
    A[i]부터 순열을 뒤집는다
    • 순열 : 7 2 4 1 3 5 6

뒤집으면 7 2 4로 시작하는 첫 순열이 완성된다. 이렇게 하나씩 반복하면서 다음 순열을 N!번 구하게 되면 최종적으로 모든 순열을 구할 수 있게된다. 다음 순열을 구하는 함수의 코드는 아래와 같다.

bool next_permutation(int *a, int n) { 
    int i = n-1;
    while (i > 0 && a[i-1] >= a[i]) i -= 1; // 1. A[i-1]<A[i]를 만족하는 가장 큰 i를 찾는다.
    if (i <= 0) return false; // i가 0까지 갔다면 모두 내림차순이므로 마지막 순열 
    int j = n-1; // 2. j≥i이면서 A[j] > A[i-1]를 만족하는 가장 큰 j를 찾는다. 

    while (a[j] <= a[i-1]) j -= 1; 
    swap(a[i-1], a[j]); // 3. A[i-1]과 A[j]를 swap한다.

    j = n-1; // 4. A[i]부터 순열을 뒤집는다.
    while (i < j) {
        swap(a[i], a[j]);
        i += 1; j -= 1; 
    }
        return true;
}

다음 순열을 구하는 시간복잡도는 O(N)이다. 전체 순열을 모두 구하는 시간복잡도는 이 과정을 N!번 반복하므로 O(N!×N)이다.

BOJ 10972. 다음 순열

1부터 N까지의 수로 이루어진 순열이 있다. 이때, 사전순으로 다음에 오는 순열을 구하는 프로그램을 작성하시오.

사전 순으로 가장 앞서는 순열은 오름차순으로 이루어진 순열이고, 가장 마지막에 오는 순열은 내림차순으로 이루어진 순열이다.

N = 3인 경우에 사전순으로 순열을 나열하면 다음과 같다.

1, 2, 3
1, 3, 2
2, 1, 3
2, 3, 1
3, 1, 2
3, 2, 1

next_permutation 직접 구현

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

bool next_permutation(vector<int> &a, int n) {
    int i = n-1;
    while (i > 0 && a[i-1] >= a[i]) i -= 1; // 1. A[i-1]<A[i]를 만족하는 가장 큰 i를 찾는다.
    if (i <= 0) return false; // 마지막 순열
    int j = n-1; // 2. j≥i이면서 A[j] > A[i-1]를 만족하는 가장 큰 j를 찾는다.
    while (a[j] <= a[i-1]) j -= 1;
    swap(a[i-1], a[j]); // 3. A[i-1]과 A[j]를 swap한다.
    j = n-1; // 4. A[i]부터 순열을 뒤집는다.
    while (i < j) {
        swap(a[i], a[j]);
        i += 1; j -= 1;
    }
    return true;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a(n);
    for (int i=0; i<n; i++) cin >> a[i];
    if (next_permutation(a,n)) { // 다음 순열이 있다면 출력
        for (int i=0; i<n; i++) cout << a[i] << ' ';
    } else { // 다음 순열이 없다면 -1 출력
        cout << "-1";
    }
    cout << '\n';
    return 0;
}

라이브러리 사용

#include <iostream>
#include <algorithm> // next_permutation
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a(n);
    for (int i=0; i<n; i++) cin >> a[i];
    if (next_permutation(a.begin(),a.end())) {
        for (int i=0; i<n; i++) cout << a[i] << ' ';
    } else {
        cout << "-1";
    }
    cout << '\n';
    return 0;
}

BOJ 10973. 이전 순열

1부터 N까지의 수로 이루어진 순열이 있다. 이때, 사전순으로 바로 이전에 오는 순열을 구하는 프로그램을 작성하시오.

사전 순으로 가장 앞서는 순열은 오름차순으로 이루어진 순열이고, 가장 마지막에 오는 순열은 내림차순으로 이루어진 순열이다.

N = 3인 경우에 사전순으로 순열을 나열하면 다음과 같다.

1, 2, 3
1, 3, 2
2, 1, 3
2, 3, 1
3, 1, 2
3, 2, 1

다음 순열을 구하는 과정은 다음과 같다.

  1. A[i-1]<A[i]를 만족하는 가장 큰 i를 찾는다.
  2. j≥i이면서 A[j]<A[i-1]를 만족하는 가장 큰 j를 찾는다.
  3. A[i-1]A[j]를 swap한다.
  4. A[i]부터 순열을 뒤집는다.

이전 순열을 구하는 것은 다음 순열을 구하는 것에서 부등호만 바꾸어 주면 된다.

  1. A[i-1]>A[i]를 만족하는 가장 큰 i를 찾는다.
  2. j≥i이면서 A[j]>A[i-1]를 만족하는 가장 큰 j를 찾는다.
  3. A[i-1]A[j]를 swap한다.
  4. A[i]부터 순열을 뒤집는다.

7 2 3 6 5 4 1 이 주어졌다면

  1. 끝에서 부터 검사하는데 4 > 1 이므로 i는 그대로 6이다.
  2. 끝에서 부터 검사하면 A[6]이 A[5]보다 작기 때문에 j는 6이다.
  3. A[6]과 A[5]를 swap한다. -> 1과 4가 바뀐다.
  4. 7 2 3 6 5 1 4 인 상태에서 i==j이므로 그대로 끝난다.

prev_permutation 직접 구현

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

bool prev_permutation(vector<int> &a, int n) {
    int i = n-1;
    while (i > 0 && a[i-1] <= a[i]) i -= 1; // 1. A[i-1]>A[i]를 만족하는 가장 큰 i를 찾는다.
    if (i <= 0) return false; // 마지막 순열
    
    int j = n-1; // 2. j≥i이면서 A[j] > A[i-1]를 만족하는 가장 큰 j를 찾는다.
    while (a[j] >= a[i-1]) j -= 1;
    
    swap(a[i-1], a[j]); // 3. A[i-1]과 A[j]를 swap한다.
    
    j = n-1; // 4. A[i]부터 순열을 뒤집는다.
    while (i < j) {
        swap(a[i], a[j]);
        i += 1; j -= 1;
    }
    return true;
}

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a(n);
    for (int i=0; i<n; i++) cin >> a[i];
    if (prev_permutation(a,n)) {
        for (int i=0; i<n; i++) 
        	cout << a[i] << ' ';
    } else {
        cout << "-1";
    }
    cout << '\n';
    return 0;
}

라이브러리 사용

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a(n);
    for (int i=0; i<n; i++) cin >> a[i];
    if (prev_permutation(a.begin(),a.end())) {
        for (int i=0; i<n; i++) 
        	cout << a[i] << ' ';
    } else {
        cout << "-1";
    }
    cout << '\n';
    return 0;
}

BOJ 10974. 모든 순열

N이 주어졌을 때, 1부터 N까지의 수로 이루어진 순열을 사전순으로 출력하는 프로그램을 작성하시오.

모든 순열을 출력하기 위해서는 do ~ while문으로 첫 순열부터 마지막 순열까지 빠짐없이 출력할 수 있다.

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a(n);
    for (int i=0; i<n; i++) {
        a[i] = i+1;
    }
    do {
        for (int i=0; i<n; i++) {
            cout << a[i] << ' ';
        }
        cout << '\n';
    } while (next_permutation(a.begin(), a.end()));
    return 0;
}
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어려운 문제를 어렵지 않게.

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