용어

선형방정식 linear equation
선형방정식계 = 선형계 system of linear equations = linear system
계수 coefficient
실수 real number
복소수 complex number
해 solution
해집합 solution set
동치 equivalent
일관성이 있는 consistent
일관성이 없는 inconsistent
행렬 matrix
계수 행렬 coefficient matrix
첨가 행렬 augmented matrix
행렬의 크기 size of a matrix
행 row
열 column
기본 행 연산 elementary row operations
행 동치 row equivalent
가역적 reversible

선형방정식계

선형방정식

꼴의 방정식을 선형방정식이라 부른다.
여기서 계수 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 과 상수 $b$ 는 실수 혹은 복소수이고, $n$ 은 양의 정수이다.

선형방정식계

동일한 변수 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 을 사용하는 선형방정식의 모음을 선형방정식계 혹은 선형계 라고 한다.

예를 들어

위의 두 식은 동일한 변수 $x_1, x_2$ 를 사용하는 선형방정식들이므로 두 식을 통틀어 선형방정식계, 즉 선형계라고 부를 수 있다.

해, 해집합

선형계의 해는 수의 목록($s_1, s_2, \dots, s_n$)으로, 각각 변수 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 에 대입했을 때 선형계 내의 각 방정식이 모두 참이된다.
선형계의 모든 해의 모음을 선형계의 해집합이라고 부른다.
두 선형계는 해집합이 같을 때 동치이다.

선형계의 해는
1. 해가 없거나 (no solution)
2. 해가 하나거나 (one solution)
3. 해가 무수히 많다. (infinitely many solutions)

선형계의 해가 존재할 때 일관성이 있다고 하고, 해가 존재하지 않을 때 일관성이 없다고 한다.

행렬 표기

선형계의 핵심 정보는 모두 행렬 이라고 부르는 사각 배열에 담을 수 있다.

위 선형계에서 계수만 모아 행렬을 만들면 다음과 같고

이런 행렬을 계수 행렬 이라고 부른다.

우변의 상수항들까지 행렬에 적으면 다음과 같은데

이런 행렬을 첨가 행렬 이라고 부른다.

행렬의 크기는 행의 개수와 열의 개수에 의해 결정된다.
위의 첨가행렬은 3개의 행과 4개의 열로 이루어져 있으므로 $3 \times 4$ 행렬('3 by 4 행렬' 이라고 읽는다) 이다.

일반적으로, 양의 정수 m 과 n 에 대해 $m \times n$ 행렬은 행이 m 개이고 열이 n 개인 행렬을 말한다.

선형계 해 구하기

...

기본 행 연산

1. (대체)
2. (교환)
3. (스케일링..?)

행 동치
행 연산은 가역적이다

두 첨가행렬이 행 동치이면 두 선형계는 해가 같다. 두 선형계는 동치이다.

존재성과 유일성

선형계는 해가 없거나 하나이거나 무수히 많은데, 이를 알아내기 위해 두 가지 질문을 해봐야 한다.
1. 선형계가 일관성이 있는가? 즉, 해가 하나라도 존재하는가?
2. 만약 해가 있다면, 그 해는 유일한가?

첨가행렬에 대한 행 연산으로 답할 수 있다.