Linear equations

linear system

Linear equation
Linear system
Matrix
Elementary row operations
Existence and uniqueness

echelon forms

leading entry
row echelon form (REF)
reduced row echelon form (RREF)
echelon matrix
reduced echelon matrix
Uniqueness of RREF
pivot
pivot column
pivot position
basic variable / free variable

Existence and uniqueness theorem

A linear system is consistent iff
no row in its augmented matrix is of form $\begin{bmatrix}0 & 0 & \cdots & b\end{bmatrix}$ where $b \ne 0$

vector equations

(naive) vector
column vector
scalar multiplication and vector addition
algebraic properties of R^n

linear combination & span

$\bold{b}$ 가 $\text{Span}\{\bold{v}_1, \cdots, \bold{v}_p\}$ 에 속하는지 여부는 곧
$x_1\bold{v}_1 + x_2\bold{v}_2 + \cdots + x_p\bold{v}_p = \bold{b}$ 식에 해가 존재하는지 여부와 같고 또한
첨가행렬 $\begin{bmatrix}\bold{v}_1 & \bold{v}_2 & \cdots & \bold{v}_p & \bold{b}\end{bmatrix}$ 의 해가 존재하는지 여부와 같다

the matrix equation

linear combination and matrix-vector multiplication

$A\bold{x} = \begin{bmatrix}\bold{a}_1 & \bold{a}_2 & \cdots & \bold{a}_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix} = x_1\bold{a}_1 + x_2\bold{a}_2 + \cdots + x_n\bold{a}_n$

theorem 3 - matrix equation, vector equation, linear system

$A$ 가 $m \times n$ 행렬이고 $\bold{b}$ 가 $R^m$ 에 속할 때
1. $A\bold{x} = \bold{b}$
2. $x_1\bold{a}_1 + x_2\bold{a}_2 + \cdots + x_n\bold{a}_n = \bold{b}$
3. $\begin{bmatrix}\bold{a}_1 & \bold{a}_2 & \cdots & \bold{a}_n & \bold{b}\end{bmatrix}$
의 해집합은 모두 같다

existence of solutions

The equation $A\bold{x} = \bold{b}$ has a solution iff $\bold{b}$ is a linear combination of the columns of $A$

theorem 4

$A$ 가 $m \times n$ 행렬일 때 다음 명제는 모두 동치이다.
1. $\mathbb{R}^m$ 의 모든 $\bold{b}$ 에 대해 $A\bold{x} = \bold{b}$ 의 해가 존재한다
2. $\mathbb{R}^m$ 의 모든 $\bold{b}$ 는 $A$ 의 열의 선형 결합이다.
3. $A$ 의 열들이 $\mathbb{R}^m$ 을 생성한다.
4. $A$ 의 모든 행에 피봇이 존재한다.

• 여기서 $A$ 가 첨가행렬이 아니라 계수행렬임에 주의!!

matrix-vector product

$A\bold{x}$

$\begin{bmatrix}\bold{a}\end{bmatrix}$