SIFT의 최대 단점으로는 연산의 복잡성으로 시간이 오래 걸림.
SURF는 SIFT의 성능을 유지하면서 계산 속도를 향상.

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1. Integral Image

SIFT와는 다르게 적분 영상을 이용하여 feature 추출.

좌측의 원본 이미지의 밝기값을 우측의 적분 이미지로 변환.

빨간 부분의 합을 우측의 적분 이미지를 이용하여 빠르게 구할 수 있음.
$Area=21+4-11-11=3$

2. Hessian Detector

Hessian detector는 Hessian matrix 기반의 특징점 검출 알고리즘.
determinant가 최대인 위치에서 blob 검출.

Hessian Matrix
이계도 함수를 행렬로 표현. 극값을 판정.
$For\ f(x_1,x_2,···,x_n),\\ H(f)=\begin{bmatrix} \frac{\partial^2f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2f}{\partial x_1\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2f}{\partial x_1\partial x_n} \\ \frac{\partial^2f}{\partial x_2\partial x_1} & \frac{\partial^2f}{\partial x_2^2} & \cdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^2f}{\partial x_n\partial x_1} & \cdots & \cdots & \frac{\partial^2f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix}$

$H(\bold{X},\sigma)=\begin{bmatrix} L_{xx}(\bold{X},\sigma) & L_{xy}(\bold{X},\sigma) \\ L_{xy}(\bold{X},\sigma) & L_{yy}(\bold{X},\sigma) \end{bmatrix}$

determinant가 양수이고 eigenvalue가 서로 같은 부호이면 관심점으로 판단.
2차 미분으로 Gaussian 사용. 이는 Scale-space의 분석에 있어서 최적.

계산의 단순화를 위해 근사화한 $D_{xx},D_{yy},D_{xy}$ 박스 필터 사용.

$det(H_{approx})=D_{xx}D_{yy}-(\bold{w}D_{xy})^2\ (\bold{w}\approx0.9)$

SIFT는 scale에 robust하기 위해 이미지 사이즈를 조절하는 반면,
SURF는 이미지 사이즈를 고정하고 필터 사이즈를 조절하여 관심점 추출.
down sampling 하지 않으므로 aliasing이 없음.
하지만, scale invariance가 제한적.

Reference
SURF(Speed-Up Robust Features)
SURF(Speeded-Up Robust Features)