[통계 101 × 데이터 분석] 6. 다양한 가설 검정

JERRY·2025년 8월 14일

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t-검정

1. t-검정이란?

t-검정은 표본에서 추정한 평균이 가설(모집단 평균, 두 집단 평균 차이 등)과 유의하게 다른지를 검정하는 통계 방법입니다.
모집단 분산을 모르는 상황에서 표본분산으로 추정하기 때문에 정규분포 대신 t-분포를 사용합니다.

2. t-검정의 종류

종류	목적	예시
단일표본 t-검정	표본 평균이 특정 값 μ₀와 다른지 검정	"우리 고객 평균 월요금이 70달러와 다른가?"
독립표본 t-검정	두 집단 평균 비교 (서로 독립)	"Churn=Yes vs No의 월요금 차이가 있는가?"
대응표본 t-검정	같은 집단의 전·후 비교	"프로모션 전후 고객 요금 변화가 있는가?"

Tip: 독립표본에서는 Welch t-test(등분산 미가정)를 기본으로 쓰는 것이 안전합니다.

3. 가정 (Assumptions)

(1) 정규성(Normality) 가정

t-검정의 기본 가정 중 하나는 표본(또는 표본 차이)가 정규분포를 따른다는 것입니다.

이유: t-분포는 정규분포를 기반으로 유도되었기 때문에, 데이터가 크게 벗어나면 검정 결과의 신뢰성이 떨어질 수 있습니다.
예외: 표본 수가 충분히 크면(일반적으로 n ≥ 30) 중심극한정리에 의해 평균이 정규분포에 가까워지므로, 정규성 위배에도 t-검정은 비교적 안정적으로 작동합니다.
정규성 확인 방법

시각적 방법
- 히스토그램: 데이터가 종 모양인지 확인
- QQ-Plot: 데이터의 분위수가 이론적 정규분포 분위수와 직선에 가까운지 확인
통계적 방법
- Shapiro–Wilk test
  - 귀무가설(H₀): 데이터는 정규분포를 따른다
  - p-value ≥ 0.05 → 정규성 가정을 기각할 증거 없음
- Kolmogorov–Smirnov test (표본 크기가 클 때 민감)
- D’Agostino’s K² test

(2) 등분산성(Homoscedasticity) 가정

독립표본 t-검정(특히 Student t-test)에서는 두 집단의 분산이 동일하다는 가정을 합니다.

이유: 전통적인 t-검정 통계량은 두 집단의 분산을 하나로 묶어(pooled variance) 계산하기 때문입니다.
위배 시 문제: 분산이 크게 다르면 표준오차(SE) 추정이 잘못되어 p-value가 왜곡될 수 있습니다.
등분산성 확인 방법

시각적 방법
- 두 그룹의 박스플롯에서 분산(상자·수염 길이) 비교
통계적 방법
- Levene’s test
  - 귀무가설(H₀): 두 집단의 분산은 같다
  - p-value ≥ 0.05 → 등분산성 가정을 기각할 증거 없음
  - center='median' 옵션 사용 시 이상치에 강건
- Bartlett’s test (정규성을 만족할 때만 권장)
- Brown–Forsythe test (중앙값 기준)

(3) 가정 위배 시 대처 방법

정규성 위배
- 표본이 크면 t-검정 그대로 사용 가능
- 비모수 검정(Mann–Whitney U, Wilcoxon signed-rank) 사용
- 데이터 변환(Log 변환, Box–Cox 등)
등분산성 위배
- Welch t-test 사용(equal_var=False)
- 비모수 검정 사용

4. 검정통계량 공식

(1) 단일표본 t-검정

t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}, \quad df = n-1

(2) 독립표본 t-검정 (Welch)

t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}},

df \approx \frac{\left( \frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2} \right)^2}{\frac{\left( \frac{s_1^2}{n_1} \right)^2}{n_1 - 1} + \frac{\left( \frac{s_2^2}{n_2} \right)^2}{n_2 - 1}}

(3) 대응표본 t-검정

t = \frac{\bar{d}}{s_d / \sqrt{n}}, \quad df = n-1

5. 가설 설정

양측 검정: 평균이 서로 다른지(≠)
단측 검정: 한쪽 방향으로만 차이가 있는지(>, <)
방향은 사전에 설정해야 합니다.

6. 신뢰구간 (Confidence Interval)

평균 차이의 95% CI: $(\bar{x}_1 - \bar{x}_2) \pm t_{\alpha/2, df} \cdot SE$
CI가 0을 포함하지 않으면 평균 차이는 통계적으로 유의합니다.

7. 효과크기 (Effect Size)

Cohen’s d:
$d = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{s_p}$
- 0.2 = 작음, 0.5 = 중간, 0.8 = 큼
Hedges’ g: 작은 표본 보정이 적용된 Cohen’s d

8. 점검 체크리스트

정규성: QQ-plot, Shapiro-Wilk (소표본)
등분산성: Levene test (center='median' 권장)
이상치: 박스플롯, IQR
다중비교 시 보정: Bonferroni, Holm
효과크기와 신뢰구간 함께 보고

비모수 검정

정규성/등분산 가정이 불확실하거나, 이상치가 많고/서열형(순서형) 자료일 때 유용한 분포-자유(distribution-free) 방법들을 정리했습니다. 각 검정은 대응되는 모수검정( t-test / ANOVA )의 대안입니다.

1. 언제 비모수 검정을 쓰나?

데이터가 정규분포를 따르지 않음(강한 왜도/두꺼운 꼬리/다봉형)
집단 간 분산·분포 모양이 다름(이분산/비대칭)
이상치의 영향이 큼
서열형(ordinal) 척도
표본수가 매우 작아 정규성 검정 신뢰가 낮음

표본이 충분히 크면 모수검정(Welch t 등)도 꽤 견고합니다. 다만 효과크기와 신뢰구간을 함께 보고, 민감한 경우 비모수 검정으로 교차확인하세요.

2. 어떤 검정을 고르나?

목적	모수 대안	비모수 대안	비고
2개 독립 집단 평균 차이	Welch t	Mann–Whitney U, Brunner–Munzel, Mood median	위치(중앙)차이 가정 vs 일반적 분포차
2개 대응(짝) 집단 평균 차이	Paired t	Wilcoxon signed-rank, Sign test	대응쌍 차이의 부호/순위 활용
3개 이상 독립 집단 평균 차이	One-way ANOVA	Kruskal–Wallis H	사후검정: Dunn/Conover 등
3개 이상 반복측정(대응)	Repeated-measures ANOVA	Friedman	사후검정: Nemenyi 등
연관성(연속/서열)	Pearson r	Spearman ρ, Kendall τ	단조(monotonic) 관계 탐지

3. 핵심 이론(직관 + 가설)

2.1 Mann–Whitney U (독립 2집단)

아이디어: 두 집단을 합쳐 순위를 매긴 뒤, 한 집단의 순위합이 우연치고 보기 힘들만큼 크거나 작은가?
가설
- H₀: 두 집단 분포가 동일 (위치차 없음)
- H₁: 분포가 다르다(주로 위치차 해석)
해석 팁: U는 “우월확률(Vargha–Delaney A)”과 연결 → 임의의 X∈A, Y∈B에 대해 P(X>Y)의 확률적 해석 가능.

2.2 Brunner–Munzel (독립 2집단)

아이디어: 집단 분포/분산/모양이 달라도 확률적 우위(분위)를 검정.
장점: 이분산·비대칭에서도 잘 작동(“위치변화만” 가정이 약함).

2.3 Wilcoxon signed-rank (대응 2집단)

아이디어: 짝차이의 절댓값 순위에 부호를 달아 합이 0인지(위치차 0) 검정.
대안: 극단값/동점 많으면 Sign test(이항검정)가 더 안전.

2.4 Kruskal–Wallis H (독립 k집단)

아이디어: 모든 표본에 순위를 매겨 집단별 순위합이 우연 범위를 벗어나는가?
사후검정: Dunn/Conover 등(다중비교 보정 필수).

2.5 Friedman (반복측정 k조건)

아이디어: 각 피험자(블록) 안에서 조건들의 순위를 비교해 차이가 일관적으로 큰가?

2.6 순위 상관 (Spearman ρ / Kendall τ)

아이디어: 값 자체가 아닌 순위의 일관성을 측정(단조 관계).

3. 효과크기

비모수 검정은 p값만 보고 끝내지 말고, 반드시 “얼마나” 다른지도 함께 제시하세요.

Vargha–Delaney A (A₁₂): Mann–Whitney의 우월확률
- A=0.5 동일, 0.56(작음), 0.64(중간), 0.71(큼) 관례
Cliff’s delta (δ): P(X>Y)−P(X<Y) ∈ [−1,1]
- |δ|=0.147(작음), 0.33(중간), 0.474(큼) 관례
Rank-biserial r(Wilcoxon, Mann–Whitney 해석용)
- Z/√N 또는 공식을 이용
Kruskal–Wallis ε²: $\varepsilon^2 = \frac{H-k+1}{n-k}$ (총 n, 집단 k)

JERRY

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