[python]백준 1010 풀이

다리 놓기

백준 1010 문제 링크

재원이는 한 도시의 시장이 되었다. 이 도시에는 도시를 동쪽과 서쪽으로 나누는 큰 일직선 모양의 강이 흐르고 있다. 하지만 재원이는 다리가 없어서 시민들이 강을 건너는데 큰 불편을 겪고 있음을 알고 다리를 짓기로 결심하였다. 강 주변에서 다리를 짓기에 적합한 곳을 사이트라고 한다. 재원이는 강 주변을 면밀히 조사해 본 결과 강의 서쪽에는 N개의 사이트가 있고 동쪽에는 M개의 사이트가 있다는 것을 알았다. (N ≤ M)

재원이는 서쪽의 사이트와 동쪽의 사이트를 다리로 연결하려고 한다. (이때 한 사이트에는 최대 한 개의 다리만 연결될 수 있다.) 재원이는 다리를 최대한 많이 지으려고 하기 때문에 서쪽의 사이트 개수만큼 (N개) 다리를 지으려고 한다. 다리끼리는 서로 겹쳐질 수 없다고 할 때 다리를 지을 수 있는 경우의 수를 구하는 프로그램을 작성하라.

입력

입력의 첫 줄에는 테스트 케이스의 개수 T가 주어진다. 그 다음 줄부터 각각의 테스트케이스에 대해 강의 서쪽과 동쪽에 있는 사이트의 개수 정수 N, M (0 < N ≤ M < 30)이 주어진다.

출력

각 테스트 케이스에 대해 주어진 조건하에 다리를 지을 수 있는 경우의 수를 출력한다.

풀이

이 문제는 다이나믹 프로그래밍을 이용해서 쉽게 해결할 수 있습니다. 먼저 다리를 놓는 경우에 대해서 생각해보겠습니다.

다리는 서로 겹쳐질 수 없습니다. 즉, 다리를 놓는 경우는 mCn 연산을 사용할 수 없습니다. 그러면 n=1인 경우에서부터 다리를 놓는 경우의 수를 알아보겠습니다.

$n=1$인 경우,

이 경우에는 m이 어떤 수이든, 무조건 하나만 고를 수 있습니다. 따라서, 다리를 놓을 수 있는 경우의 수는 m입니다.

$n=2$인 경우, $m=2$인 상황부터 하나씩 보겠습니다.($m$은 $n$보다 작을 수 없습니다.)

$m=2$인 경우 첫번째 다리를 첫번째 사이트에 연결하게 되면, 두번째 다리는 두번째 사이트에 연결해야 합니다. 이 경우, 첫번째 다리를 제외하면 $n=1,m=1$인 경우와 같습니다. 따라서, 1입니다.

$m=3$인 경우도 비슷하게 첫번째 다리를 고정하면, 이는 $n=1, m=2$인 경우와 동일하게 됩니다. 따라서, 2입니다.

여기서, 첫번째 다리가 두번째 사이트로도 연결될 수 있습니다. 이 경우에는 $m=2$인 경우와 동일하게 됩니다. 이렇게 되면 이전 경우의 수인 $n=1,m=2$인 경우와 $n=2,n=2$인 경우와 같습니다.

$n=2, m=4$인 경우도 동일하게 연산할 수 있습니다. 첫번째 다리를 첫번째 사이트에 연결하면, 해당 경우는 $n=1, m=3$인 경우의 수와 같습니다.

이제, 첫번째 다리가 두번째 사이트로 연결되는 순간에는 $n=2, m=3$인 경우와 동일하게 됩니다. 이를 통해서 다음과 같은 사실을 알 수 있습니다.

이제 코드로 바꾸겠습니다. 여기서 중요한 점은 이 수식을 표현하기 위해서 dp테이블을 이중배열로 선언해야 한다는 것입니다.

import sys
input = sys.stdin.readline
# 테스트 케이스의 수
t = int(input())
for _ in range(t):
    n, m = map(int, input().split())
    # dp 테이블 초기화
    dp = [[0 for _ in range(31)] for _ in range(31)]
    # case n = 1 인 상황 초기화
    for i in range(1, m+1):
        dp[1][i] = i
    for i in range(2, n+1):
        dp[i][i] = 1
        for j in range(i+1, m+1):
            dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-1][j-1]
    # 정답 출력
    print(dp[n][m])