다리 놓기
0과 1로만 이루어진 수를 이진수라 한다. 이러한 이진수 중 특별한 성질을 갖는 것들이 있는데, 이들을 이친수(pinary number)라 한다. 이친수는 다음의 성질을 만족한다.
- 이친수는 0으로 시작하지 않는다.
- 이친수에서는 1이 두 번 연속으로 나타나지 않는다. 즉, 11을 부분 문자열로 갖지 않는다.
예를 들면 1, 10, 100, 101, 1000, 1001 등이 이친수가 된다. 하지만 0010101이나 101101은 각각 1, 2번 규칙에 위배되므로 이친수가 아니다.
N(1 ≤ N ≤ 90)이 주어졌을 때, N자리 이친수의 개수를 구하는 프로그램을 작성하시오.
입력
첫째 줄에 N이 주어진다.
출력
첫째 줄에 N자리 이친수의 개수를 출력한다.
풀이
길이가 1인 이친수는 일단 0은 될 수 없으니 1입니다. 고로 한개라고할 수 있죠. 이제 길이가 2인 이친수는 10만 있으니 역시나 한개입니다. 길이가 3인 이친수부터는 10_이입니다. 100, 101이 가능하죠. 길이가 4인 이친수는 규칙에
의해 1000, 1001, 1010만 가능합니다.여기서 관점을 조금 바꿔보겠습니다. 끝자리에 의해서 이전에 끝자리가 영인 이친수 예를 들어 1000은 이후에 10000 혹은 10001을 붙여서 다섯자리 이친수를 만들 수 있어요. 반면에 1001은 다음에 1이 올 수 없으니 0만 붙여서 10010만 가능합니다. 그말은 곧, 끝자리에 따라서 그 다음 이친수의 갯수를 알 수 있다는 의미입니다.
이전 이친수의 끝자리가 0이면 다음에 끝자리가 1, 0 두개의 이친수를 생산합니다. 끝자리가 1이라면 끝자리가 0인 이친수를 생산하겠죠. 즉, N개의 자리수의 이친수는 이전항인 N-1인 이친수의 끝자리의 0, 1의 갯수에 따라서 결정된다고 할 수 있습니다.
N자리 이친수 중 끝자리가 0인 이친수는 N-1자리의 끝자리가 0인 이친수와 1인 이친수의 합과 같습니다. N자리 이친수 중 끝자리가 1인 이친수는 N-1자리의 끝자리가 0인 이친수의 갯수와 같습니다.
이는 곧 다이나믹 프로그래밍을 이용해서 해결할 수 있습니다.
import sys
input = sys.stdin.readline
n = int(input())
# DP테이블 초기화
dp = [[0, 0] for _ in range(91)]
# 처음 끝자리 갯수 초기화
dp[1][0] = 0
dp[1][1] = 1
for i in range(2, n+1):
# 끝자리가 0인 이친수는
# 이전자리의 이친수 합과 같음
dp[i][0] = dp[i-1][0]+dp[i-1][1]
# 끝자리가 1인 이친수는
# 이전자리의 이친수 중 끝자리가 0인 이친수 갯수
dp[i][1] = dp[i-1][0]
print(sum(dp[n]))이 문제는 해당 점화식을 이중배열의 DP테이블을 사용해서 구현할 수 있습니다. 정답은 0과 1의 이친수의 합이겠죠.
