논리와 명제(2) - 참진명제와 모순명제 / 논리적 동치관계
쌍방조건도 같은 의미를 가진 다른 표현으로 나타낼 수 있음
(1) p이면 q이고, q이면 p이다.
(2) p는 q의 필요충분조건이다.
예제1) ~(p∩~q)의 진리값을 구해보자.
| p | q | ~q | p∩~q | ~(p∩~q) |
|---|---|---|---|---|
| T | T | F | F | T |
| T | F | T | T | F |
| F | T | F | F | T |
| F | F | T | F | T |
예제2) p∪(q∩r)의 진리표를 구해라
| p | q | r | q∩r | p∪(q∩r) |
|---|---|---|---|---|
| T | T | T | T | T |
| T | T | F | F | T |
| T | F | T | F | T |
| T | F | F | F | T |
| F | T | T | T | T |
| F | T | F | F | F |
| F | F | T | F | F |
| F | F | F | F | F |
항진명제와 모순명제
항진명제(결과값이 항상 참)
모순명제(결과값이 항상 거짓)
| p | ~p | p∪(~p) | p∩(~p) |
|---|---|---|---|
| T | F | T | F |
| F | T | T | F |
p∪(~p) -> 항진명제
p∩(~p) -> 모순명제
p->q에 대하여
q -> p를 역 (converse)
~p -> ~q를 이 (inverse)
~q -> ~p를 대우 (contrapositive)
명제와 대우값은 항상 같다.
역과 이도 항상 같다.
논리적 동치 관계 (같은 논리값을 갖는것)
-> 어떤 복잡한 명제를 좀 더 간단한 명제로 만들기 위해 논리적 동치관계인 다른 명제를 사용하여 간소화함.
예제) ~(p∪q)와 (~p)∩(~q)의 논리적 동치임을 확인해보자.
| p | q | p∪q | ~(p∪q) | ~p | ~q | (~p)∩(~q) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| T | T | T | F | F | F | F |
| T | F | T | F | F | T | F |
| F | T | T | F | T | F | F |
| F | F | F | T | T | T | T |
~(p∪q) = (~p)∩(~q) -> 드모르간 법칙 성립
논리적 동치 관계
-
멱등법칙
p∪p ⇔ p
p∩p ⇔ p -
항등법칙
p ∪ T ⇔ T
p ∪ F ⇔ p
p ∩ T ⇔ p
p ∩ F ⇔ F -
부정법칙
~T ⇔ F
~F ⇔ T
p ∪ (~p) ⇔ T
P ∩ (~p) ⇔ F -
흡수법칙 (이해잘하기)
p ∪ (p∩q) ⇔ p (p가 T이면 우측과 상관없이 T. p가 F면 p∩q가 F, 결과도 F)
p ∩ (p∪q) ⇔ p
(흡수법칙을 통해 논리를 간소화 할 수 있다) -
드모르간 법칙
~(p∪q) ⇔ (~p)∩(~q)
~(p∩q) ⇔ (~p)∪(~q) -
조건법칙
p -> q ⇔ ~p ∪ q
예제3) (p∩q) -> r과 (p->r) ∪ (q->r)이 논리적으로 동치임을 기본법칙을 이용하여 판별하시오.
p∩q -> r
= ~(p∩q) ∪ r
= (~p∪~q) ∪r
= (~p∪r) ∪ (~q∪r)
= (p->r) ∪ (q->r)
