논리와 명제3
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추론(argument)
주어진 명제가 참임을 바탕으로 새로운 명제가 참이 되는 것을 유인하는 방법
주어진 명제들인 p1, p2 ... pn을 전제(premise)라 함
새로이 유도된 명제4를 결론이라고 함 -
유효추론(valid argument)
주어진 전제가 참이고 결론도 참인 추론 -
허위추론(fallacious argument)
추론의 결론이 거짓
| 추론법칙 | 법칙이름 |
|---|---|
| p, q(결론) ∴ p->q (전제) | 긍정법칙(modus ponens) |
| ~q, p->q, ∴ ~p | 부정법칙(modus tollens) |
| p->q, q->r, ∴ p->r | 조건삼단법칙 |
| p∪q, ~p, ∴ q | 선인삼단법칙 |
| (p->q)∩(r->s), p∪r, ∴ (q∪s) | 양도법칙 |
| (p->q)∩(r->s), ~q∪~s, ∴ ~p∪~r | 파괴적법칙 |
| p, ∴ p∪q | 선전법칙 |
| p∩q, ∴ p | 분리법칙 |
| p, q, ∴ p∩q | 연접법칙 |
예제 2-20. 다음 p->q, p이면 q이다 추론식에 나타난 명제들을 예를 들어 설명해보자.
ex) p: 오늘은 비가 온다. q: 나는 공부를 한다.
-> 오늘 비가오면 나는 공부를 한다.
-> 오늘은 비가온다.
-> 그러므로 나는 공부를한다.
가장 많이 사용되고 잘 알려진 3가지 논리법칙
(a) 긍정법칙
p(참), p->q, ∴ q(참)
(b) 부정법칙
~q(참), p -> q(거짓), ∴ ~p(참)
(c) 삼단법칙
p->q, q->r, ∴ p->r
에제 2-22. 긍정법칙이 유효추론임을 진리표를 보여라
| p | q | p->q |
|---|---|---|
| T | T | T(성립) |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
술어논리
- 명제 중에서는 값이 정해지지 않는 변수나 객체가 있어서 참과 거짓을 판단하기 힘든 경우가 있음
- 변수의 값에 따라 그 명제가 참이되고 거짓이 될 수도 있음
예) x²+5x+6=0 이라는 명제는 x의 값이 -2 또는 -3일 경우에는 참의 값을 가지고 그 외에는 거짓의 값을 가진다. 이런 경우 우리는 x²+5x+6=0을 만족시키는 변수가 있다고 표현한다.
- 이와 같은 형태의 명제를 P(x)로 표시하고, P(x)를 변수 x에 대한 명제술어 (propositional predicate)라고 한다.
- 명제 논리와 구분하여 명제 술어에 대한 논리를 술어논리(predicate logic)라고 함
술어 한정자(Predicate Quantifier)
- 논리를 나타내는 방법 중에서 변수의 범위를 한정시키는 것임
- 한정자에는 "모든 것에 대하여"와 "존재한다"의 두가지가 있음
- '모든 것에 대하여'는 기호 ∀를 사용
- '존재한다'는 기호 ∃로 나타냄
∀xP(x) == 모든 x에 대해 P(x)가 성립
∃xP(x) == 어떤 x에 대해 P(x)가 성립
예제 2-26. x가 정수라고 할때, 다음 명제의 참거짓을 판별해보시오
(1) ∀x[x<x+1] -> T
(2) ∀x[x=3] -> F
(3) ∀x[x>x-3] -> T
에제 2-27. x가 정수이고, P(x) = x = x² 이라고 할때, 진리값을 구하시오
(1) ∀xP(x) -> 거짓
(2) ∃xP(x) -> 참
예제 2-28
1) ∃xP(x,y) -> P(x,y)를 성립하는 어떤 x가 있다.
2) ~(∀x(P(x)) -> 모든 x가 P(x)를 성립하는 것은 아니다.
3) ∃y(∀xP(x,y)) -> 모든 x가 P(x,y)를 성립하는 어떤 y가 존재한다.
정의 2-8
~(∀xP(x)) ⇔ ∃x(~p(x))
~(∃xP(x)) ⇔ ∀x(~P(x))
예제 2-29. x는 '학생을'이고 P(x)는 'x는 공부한다'일 때 다음 문장의 부정을 서술하고 그 부정을 논리적 기호로 표시해보자.
(1) 모든 학생은 공부한다.
-> 공부하지 않는 학생도 있다.
~(∀xP(x)) ⇔ ∃x(~P(x))
(2) 공부를 하는 학생이 존재한다.
-> 모든 학생은 공부하지 않는다.
~(∃xP(x)) ⇔ ∀x(~P(x))
