[자료구조] : mergesort/합병정렬(c)

지환·2022년 7월 20일

MergeSort Sort c언어 merge 자료구조 정렬 합병 합병정렬

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이번 시간에는 mergesort에 대해서 알아보겠다.

합병 정렬(merge sort) 알고리즘의 개념 요약

‘존 폰 노이만(John von Neumann)’이라는 사람이 제안한 방법

일반적인 방법으로 구현했을 때 이 정렬은 안정 정렬 에 속하며, 분할 정복 알고리즘의 하나 이다.
- 분할 정복(divide and conquer) 방법
  - 문제를 작은 2개의 문제로 분리하고 각각을 해결한 다음, 결과를 모아서 원래의 문제를 해결하는 전략이다.
  - 분할 정복 방법은 대개 순환 호출을 이용하여 구현한다.
과정 설명

리스트의 길이가 0 또는 1이면 이미 정렬된 것으로 본다. 그렇지 않은 경우에는
정렬되지 않은 리스트를 절반으로 잘라 비슷한 크기의 두 부분 리스트로 나눈다.
각 부분 리스트를 재귀적으로 합병 정렬을 이용해 정렬한다.
두 부분 리스트를 다시 하나의 정렬된 리스트로 합병한다.

합병 정렬(merge sort) 알고리즘의 구체적인 개념

하나의 리스트를 두 개의 균등한 크기로 분할하고 분할된 부분 리스트를 정렬한 다음, 두 개의 정렬된 부분 리스트를 합하여 전체가 정렬된 리스트가 되게 하는 방법이다.
합병 정렬은 다음의 단계들로 이루어진다.
- 분할(Divide): 입력 배열을 같은 크기의 2개의 부분 배열로 분할한다.
- 정복(Conquer): 부분 배열을 정렬한다. 부분 배열의 크기가 충분히 작지 않으면 순환 호출 을 이용하여 다시 분할 정복 방법을 적용한다.
- 결합(Combine): 정렬된 부분 배열들을 하나의 배열에 합병한다.
합병 정렬의 과정
- 추가적인 리스트가 필요하다.
- 각 부분 배열을 정렬할 때도 합병 정렬을 순환적으로 호출하여 적용한다.
- 합병 정렬에서 실제로 정렬이 이루어지는 시점은 2개의 리스트를 합병(merge)하는 단계 이다.

이 그림을 암기해두는 것이 편하다.

합병정렬 알고리즘의 예제

배열에 27, 10, 12, 20, 25, 13, 15, 22이 저장되어 있다고 가정하고 자료를 오름차순으로 정렬해 보자.
2개의 정렬된 리스트를 합병(merge)하는 과정

2개의 리스트의 값들을 처음부터 하나씩 비교하여 두 개의 리스트의 값 중에서 더 작은 값을 새로운 리스트(sorted)로 옮긴다.
둘 중에서 하나가 끝날 때까지 이 과정을 되풀이한다.
만약 둘 중에서 하나의 리스트가 먼저 끝나게 되면 나머지 리스트의 값들을 전부 새로운 리스트(sorted)로 복사한다.
새로운 리스트(sorted)를 원래의 리스트(list)로 옮긴다.

합병정렬 코드

# include <stdio.h>
# define MAX_SIZE 8
int sorted[MAX_SIZE] // 추가적인 공간이 필요

// i: 정렬된 왼쪽 리스트에 대한 인덱스
// j: 정렬된 오른쪽 리스트에 대한 인덱스
// k: 정렬될 리스트에 대한 인덱스
/* 2개의 인접한 배열 list[left...mid]와 list[mid+1...right]의 합병 과정 */
/* (실제로 숫자들이 정렬되는 과정) */
void merge(int list[], int left, int mid, int right){
  int i, j, k, l;
  i = left;
  j = mid+1;
  k = left;

  /* 분할 정렬된 list의 합병 */
  while(i<=mid && j<=right){
    if(list[i]<=list[j])
      sorted[k++] = list[i++];
    else
      sorted[k++] = list[j++];
  }

  // 남아 있는 값들을 일괄 복사
  if(i>mid){
    for(l=j; l<=right; l++)
      sorted[k++] = list[l];
  }
  // 남아 있는 값들을 일괄 복사
  else{
    for(l=i; l<=mid; l++)
      sorted[k++] = list[l];
  }

  // 배열 sorted[](임시 배열)의 리스트를 배열 list[]로 재복사
  for(l=left; l<=right; l++){
    list[l] = sorted[l];
  }
}

// 합병 정렬
void merge_sort(int list[], int left, int right){
  int mid;

  if(left<right){
    mid = (left+right)/2 // 중간 위치를 계산하여 리스트를 균등 분할 -분할(Divide)
    merge_sort(list, left, mid); // 앞쪽 부분 리스트 정렬 -정복(Conquer)
    merge_sort(list, mid+1, right); // 뒤쪽 부분 리스트 정렬 -정복(Conquer)
    merge(list, left, mid, right); // 정렬된 2개의 부분 배열을 합병하는 과정 -결합(Combine)
  }
}

void main(){
  int i;
  int n = MAX_SIZE;
  int list[n] = {21, 10, 12, 20, 25, 13, 15, 22};

  // 합병 정렬 수행(left: 배열의 시작 = 0, right: 배열의 끝 = 7)
  merge_sort(list, 0, n-1);

  // 정렬 결과 출력
  for(i=0; i<n; i++){
    printf("%d\n", list[i]);
  }
}

- c언어 코드의 과정

합병정렬(merge sort) 알고리즘의 특징

단점

만약 레코드를 배열(Array)로 구성하면, 임시 배열이 필요하다.
- 제자리 정렬(in-place sorting)이 아니다.
레크드들의 크기가 큰 경우에는 이동 횟수가 많으므로 매우 큰 시간적 낭비를 초래한다.

장점

안정적인 정렬 방법
- 데이터의 분포에 영향을 덜 받는다. 즉, 입력 데이터가 무엇이든 간에 정렬되는 시간은 동일하다. (O(nlog₂n)로 동일)
만약 레코드를 연결 리스트(Linked List)로 구성하면, 링크 인덱스만 변경되므로 데이터의 이동은 무시할 수 있을 정도로 작아진다.
- 제자리 정렬(in-place sorting)로 구현할 수 있다.
따라서 크기가 큰 레코드를 정렬할 경우에 연결 리스트를 사용한다면, 합병 정렬은 퀵 정렬을 포함한 다른 어떤 졍렬 방법보다 효율적이다.

합병정렬의 시간복잡도

분할단계
-> 비교 연산과 이동 연산이 수행되지 않는다.
합병단계
-> 비교횟수

순환 호출의 깊이 (합병 단계의 수)

레코드의 개수 n이 2의 거듭제곱이라고 가정(n=2^k)했을 때, n=2^3의 경우, 2^3 -> 2^2 -> 2^1 -> 2^0 순으로 줄어들어 순환 호출의 깊이가 3임을 알 수 있다. 이것을 일반화하면 n=2^k의 경우, k(k=log₂n)임을 알 수 있다.
k=log₂n

각 합병 단계의 비교 연산

크기 1인 부분 배열 2개를 합병하는 데는 최대 2번의 비교 연산이 필요하고, 부분 배열의 쌍이 4개이므로 24=8번의 비교 연산이 필요하다. 다음 단계에서는 크기 2인 부분 배열 2개를 합병하는 데 최대 4번의 비교 연산이 필요하고, 부분 배열의 쌍이 2개이므로 42=8번의 비교 연산이 필요하다. 마지막 단계에서는 크기 4인 부분 배열 2개를 합병하는 데는 최대 8번의 비교 연산이 필요하고, 부분 배열의 쌍이 1개이므로 8*1=8번의 비교 연산이 필요하다. 이것을 일반화하면 하나의 합병 단계에서는 최대 n번의 비교 연산을 수행함을 알 수 있다.
최대 n번
순환 호출의 깊이 만큼의 합병 단계 * 각 합병 단계의 비교 연산 = nlog₂n

이동 횟수

순환 호출의 깊이 (합병 단계의 수)
- k=log₂n
각 합병 단계의 이동 연산
- 임시 배열에 복사했다가 다시 가져와야 되므로 이동 연산은 총 부분 배열에 들어 있는 요소의 개수가 n인 경우, 레코드의 이동이 2n번 발생한다.
- 순환 호출의 깊이 만큼의 합병 단계 * 각 합병 단계의 이동 연산 = 2nlog₂n
T(n) = nlog₂n(비교) + 2nlog₂n(이동) = 3nlog₂n = O(nlog₂n)