합의 분포

합의 분포

특징

• 합의 분포의 이산형 확률함수, 연속형 확률밀도함수를 직접 유도하는 것은 어렵다

• 따라서 합의 분포의 기대값과 분산에 대해 파악하기

필요성

• 표본 평균에 대한 이해도를 높이기 위한 사전 준비를 하는 차원에서 합의 분포에 대한 파악이 필요

• 그 후, n으로 나눈 표본평균에 대해서 쉽게 이해 가능

기대값

• 확률변수가 서로 독립이 아니어도 성립

E(X1+X2+X3+...+Xn) = E(X1)+E(X2)+E(X3) +..+E(Xn)

• 분산

• 확률변수가 서로 독립일 경우에 성립

V(X1+X2+X3+...+Xn) = V(X1)+V(X2)+V(X3) +...+V(Xn)

합의 분포를 따르는 실제 확률 분포의 형태

• 정규분포의 합의 분포-> 정규분포

## 정규분포의 합의 분포

#서로 독립인 확률변수 X,Y는 각각 X~N(1,2) 와 Y~N(2,3)로 정의되었을 때

#E(X+Y) = E(X) +E(Y) =3
#V(X+Y) = V(X)+V(Y) =5

rv1 = stats.norm(1, np.sqrt(2))
rv2 = stats.norm(2, np.sqrt(3))

sample_size = int(1e6)
X_sample = rv1.rvs(sample_size)
Y_sample = rv2.rvs(sample_size)

sum_sample = X_sample + Y_sample

np.mean(sum_sample), np.var(sum_sample) #(3.000,4996)

• 푸아송 분포의 합의 분포-> 푸아송 분포

#푸아송 분포의 합의 분포
#서로 독립인 확률변수 X~Poi(3) 과 Y~Poi(4)로 정의

##E(X+Y) =E(X) +E(Y) = 3+4=7
##V(X+Y) =V(X)+ V(Y) = 3+4=7

rv1 = stats.norm(1, np.sqrt(3))
rv2 = stats.norm(2, np.sqrt(4))

sample_size = int(1e6)
X_sample = rv1.rvs(sample_size)
Y_sample = rv2.rvs(sample_size)
sum_sample = X_sample + Y_sample

np.mean(sum_sample), np.var(sum_sample) #3.000, 6.986

• 베르누이 분포의 합의 분포 -> 이항분포

#베르누이

p =0.3
rv = stats.bernoulli(p)

sample_size = int(1e6)
Xs_sample = rv1.rvs(10, sample_size)
sum_sample = np.sum(Xs_sample, axis=0)


np.mean(sum_sample), np.var(sum_sample) #12.797,000)