(고수B) 9. 상미분방정식

본 포스트는 작성자가 중국 북경대학교에서 22-23학년도 2학기 고등수학B(2) 수업을 들으며 배운 내용을 복습하며 정리한 포스트입니다. 중국어, 한국어, 영어가 뒤섞인 본인이 알아보기 위해 작성한 필기를 정리하는만큼 다른분들이 읽기엔 조금 불친절할수 있습니다.

9.1 기본 개념

여기 블로그에 설명이 굉장히 잘 되어있다.

인용해보면, 미분방정식이란 ‘하나 또는 그 이상의 독립변수에 관하여 하나 또는 그 이상의 종속변수의 도함수 또는 미분을 포함하는 방정식’이고, 특히 독립변수가 하나인 경우 상미분방정식(상미방, ODE, Ordinary Differential Equation)이다. 미분방정식을 푼다는 것은 결국 $y=f(x)$를 구하는 것이다.

해의 종류

$y=\frac{1}{2}x^2$가 $\frac{dy}{dx}=x$의 해인것을 아는것은 어렵지 않다. 다만 뒤의 상수까지 고려한다면$y=\frac{1}{2}x^2+C$가 通解가 된다. 적분상수 C가 들어가면 위처럼 일반해가 되고, 이는 무수히 존재할 수 있다. 特解, 특수해의 경우는 初值问题에 의해 초기 조건이 주어졌을때 하나로 특정될 수 있는 해다.

9.2. 初等积分法

여러가지 형식과 해결법을 살펴본다.

变量分离的方程

이런 형식이다. 간단하니 예시는 생략.

可化为变量分离方程的几类方程

첫번째 형식이다. $z=ax+by+c$로 치환하고 진행하면 된다.

이 형식은 $f(x,y)$가 $f(tx,ty)=f(x,y)$를 만족하는 齐次函数일때,

위처럼 변환해 풀면 된다.

세번째 경우다.

一阶线性微分方程

위와 같은 형식이다. 몇가지 종류로 나뉘는데, 이때 만약 $Q(x)=0$이라면

y는 바로 위와 같은 해를 가진다.