(고수B) 10. 무한급수

본 포스트는 작성자가 중국 북경대학교에서 22-23학년도 2학기 고등수학B(2) 수업을 들으며 배운 내용을 복습하며 정리한 포스트입니다. 중국어, 한국어, 영어가 뒤섞인 본인이 알아보기 위해 작성한 필기를 정리하는만큼 다른분들이 읽기엔 조금 불친절할수 있습니다.

앞의 세장은 계산 위주라 내용이 거의 없었지만, 여기서부턴 원리 정리에 다시 들어가본다.

10.1. 코시 수렴 원리

고수 상에 나온 엡실론 델타 논법이 기억난다.
수열 $a_n$이 극한이 있을 충분필요조건은, 모든 $\epsilon>0$에 대해 위의 조건을 만족하면 된다. n과 m이 특정 N보다 클때 큰 차이가 없다면 즉 수렴한다는 뜻으로 이해하면 된다.

복습해보는 등비수열 공식이다.


3은 당연한 정의이고, 4는 여러가지 증명에 쓰인다.

4를 이용하면 위처럼 자주 쓰는 두가지 무한급수의 수렴성을 알 수 있다.
우선 위처럼 식을 전개하고, 적당한 p를 정하고 (n이 쓰이는 경우가 많음) 그 후 대소관계를 비교하여 발산/수렴성을 알아낼 수 있다.

문제에서 수렴성을 알아볼때, 우선 $lim(a_n)$이 0이 되는지 확인 한 후, 전개해서 무한대로 갈때 수렴하는지 보면 된다.

10.2 正项급수의 수렴판별법

모든 $u_n$의 항이 이 0보다 큰 무한급수를 正项급수라고 한다. 이 특성때문에 급수는 무조건 상승하게 되고, 수렴하려면 상한이 자연스럽게 있어야 한다.

비교판별법

우선 비교판별법으로 수렴을 판별할 수 있다. 당연하지만 수렴하는 급수보다 일반항이 작다는것이 판별되면 대상 급수도 수렴한다.

분수판별법?

또한 두개의 급수가 있을때 위와 같은 식이 h에 수렴할때, 위에 있는 $v_n$ 의 수렴과 발산 여부에 따라 또 수렴을 판별할 수 있다.

예시를 보면 직관적이다.

달랑베르 판별법

이번엔 달랑베르 판별법이다. 극한의 값이 1보다 작으면 수렴, 크면 발산, 딱 1일때는 수렴성이 불확실하다.

코시판별법

위와 같은 식에서 l이 1보다 작으면 수렴, 크면 발산, 딱 1일때는 수렴성이 불확실하다.

마지막은 수업중에 나온 예시다. 달랑베르와 코시 모두 활용 가능한데, e가 되는 급수들의 활용이 필요하다.

무한적분

무한적분에 대한 정의다. 결론적으로:

위의 무한적분이 수렴한다면 급수도 수렴한다.

판별법 사용시 위의 공식이 유용하게 쓰인다.

10.3 任意项级数

라이프니츠 판별법

위와 같은 교차급수에 한해 적용된다. 간단히 말하면 单调下降하면서 0에 수렴하면 된다.

위 교차급수는 요긴하게 쓰이니 외워두는것이 좋다.

절대수렴 판별법

절대값을 씌운 경우 수렴한다면 원래 교차급수도 수렴한다.

이 중, 절대값을 씌웠을때 수렴하면 무조건 수렴하고, 교차급수가 수렴하나 절대값을 씌웠을때 발산하면 조건수렴한다 한다.

먼저 절대값을 씌워 正项급수가 수렴하는지 확인하고 (이경우엔 교차급수도 무조건 수렴), 아닌 경우엔 다른 방법을 본다.

명제들

1. 절대적으로 수렴하는 급수의 합수는 正项부분의 급수와 负项부분의 급수의 합수의 합이다.
2. 수렴하는 정항급수는 재배열을 거쳐도 여전히 수렴하며 합수의 값도 같다.
3. 급수 $u_k$가 절대수렴한다면, 재배열을 거쳐 나오는 급수 $a_k$도 절대수렴하며 값이 바뀌지 않는다.

디리클레/아벨 판별법

$a_kb_k$에서 $a_k$가 단조하고 무한대로의 극한값이 0일때, $b_k$무한급수의 부분합이 유계하다면, 상수 M이 존재해 위와 같고, $a_kb_k$는 수렴한다.

10.4 函数项级数

이젠 함수다.

$x_0$에서 위 급수가 수렴/발산한다면 그 값은 수렴/발산점이 되고, 모든 수렴/발산점의 전체를 수렴/발산역이라고 한다.

함수 수열의 수렴역을 찾는 과정이다.

一致收敛

함수 수열 $f_n(x)$에서 매 항이 유효할 때, $x_0$이 존재하며 수열 ${f_n(x_0)}$이 수렴한다면 (즉 $limf_n(x_0)$이 존재함), $f_n(x)$는 $x_0$에서 수렴한다고 하고, 이를 수렴점이라고 한다. 위에서도 말했듯 수렴점들의 모임은 수렴역이라고 한다.

함수수열 $f_n(x)$가 집합 X에서 극한함수 $f(x)$에서 수렴한다면, 위와 같은 식이 성립될 때 수열이 $f(x)$에 일치수렴 한다고 한다.

자주 쓰이는 명제들이다. 더 크면서 0으로 수렴하는 수열이 있다면 일치수렴, 보다 큰 상수 l이 있거나 0이 아닌 값으로 발산하게 된다면 불일치 수렴이다.

명제 3의 좋은 예시다.

함수급수 일치수렴의 필요조건/판별법

위의 정리들을 사용한다.

일치수렴 급수의 성질

10.5 멱급수

위와 같은 형식의 급수를 멱급수라고 한다.

멱급수의 수렴반경

멱급수의 특징은 수렴역이 하나의 점인 $\{x_0\}$이거나 $x_0$을 중심으로 하는 하나의 구간이고, 이 구간을 수렴반경이라고 한다. 수렴 반경 R이 있다면 수렴구간은 (-R,R)이 된다.

간단한 기본 개념으로, 수렴하는 점보다 절대값이 작으면 절대수렴, 발산하는 점보다 절대값이 크면 발산한다.

위의 공식들을 통해 수렴 반경을 구해낼 수 있다. 앞에 배운것들의 응용이다.

예제

반경만을 구하는것은 어렵지 않다.
수렴구역과 수렴역을 구할땐 먼저 $l$값을 통해 반경과 수렴구역을 구하고, edge case를 x에 대입하여 확인한 후 수렴역을 확정하면 된다.

멱급수의 성질

예제

단순히 S(n)을 구하는 경우, 하던대로 R을 구하고, 급수 형태가 이쁘면 바로 적분해서 급수값을 구하고, 이를 미분해 원래 합급수 값을 구한다.

이쁘지 않으면 한번, 두번 미분해서 급수값을 구할수 있는 상황으로 만들고 역으로 적분해 구한다.

하지만 x의 차수가 2를 포함하면 원래 방식대로 R을 구할 수 없어, 항 전체를 $u_n$으로 두고 달랑베르를 해서 R을 구해야 한다. 자주 나오는 경우로 $l=|x^2|$일때 $R=1$, $l=0$일때 $R=\infin$, $l=\frac{1}{2}|x^2|$일떄 $R=\sqrt2$이다.
그 후엔 형식이 이쁘면 바로 적분후 값을 얻고 미분, 혹은 미분을 몇번 하고 값을 구하고 적분해가며 구하기 등 방법을 사용한다.

10.6 테일러 급수

기본적인 개념이다.

함수가 테일러 급수로 전개 가능한 필요조건

문제풀이법

함수수열 일치수렴 여부 증명

위의 조건들을 확인해본다.

예시를 보면서, 우선 일치수렴 여부를 증명하라고 하면 해당 범위 최댓값등을 바로 대입해 원래 fn보다 큰걸 보이고, 그 대입한 식이 0으로 수렴, 혹은 그 수열이 0으로 수렴하는지 확인한다. 불일치수렴의 경우는 xn을 특수한 식으로 만들고 대입시 해당 식이 0으로 수렴하지 않는다는 것을 보인다.

이 경우 디리클레를 사용, 이중 하나가 부분유계하며 다른 하나가 单减하며 0에 수렴함을 증명한다.

불일치수렴을 증명해야 한다면, 등비수열을 사용해서 x의 값에따라 s(x)의 값이 다르게 나오는 점을 증명해서 연속하지 않는다는 점을 통해 불일치수렴을 증명할 수 있다.