(고수B) 1. 함수와 극한

장펄씨·2022년 9월 12일

Advanced Mathematics B

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본 포스트는 작성자가 중국 북경대학교에서 22-23학년도 1학기 고등수학B(1) 수업을 들으며 배운 내용을 복습하며 정리한 포스트입니다. 중국어, 한국어, 영어가 뒤섞인 본인이 알아보기 위해 작성한 필기를 정리하는만큼 다른분들이 읽기엔 조금 불친절할수 있습니다.

첫장의 내용은 고등학교 개념의 복습과 동시에 이 개념들에 대한 보다 깊은 분석이 대부분이다. 추후에도 쓰일 기초들이 많아 그래도 얼렁뚱땅 넘어가면 나중에 고생할 수도 있다.

1.1. 실수.

기본 개념들을 정리하고 넘어가자.

자연수 (N): 0,1,2,3...이며, 덧셈, 곱셈 연산에 대해 닫혀있다. (즉 두개의 자연수의 합이나 곱은 항상 자연수이다)

정수 (Z): -2,-1,0,1,2,...등이며, 덧셈, 뺄셈과 곱셈 연산에 대해 닫혀있다. 정정수 $Z^+$ 는 정수중 음수가 아닌 수들이다.

유리수 (Q): 유리수 $Q=\{\frac{m}{n}|m,n\in Z,n>0,(m,n)=1\}$ 이다. 이 중 $(m,n)=1$ 은 m과 n의 최대공약수가 1이란 뜻이다.

유리수는 사칙연산에 대해 모두 닫혀있다: 유리수 간 어떤 사칙 연산을 해도 결과는 유리수란 뜻이다. 사칙연산에 대해 닫혀있는 수의 집합을 이제부터 수역이라고 부르겠다. 클래식한 예제를 보자.

증명: $\sqrt{2}$ 가 유리수가 아님을 증명하라.

증명: 반증법을 사용한다. $\sqrt{2}$ 가 유리수라고 가정하면, 두개의 정정수 m과 n이 존재하고, (m,n)=1이다. 이때 $\sqrt{2}=\frac{m}{n}$ 이 된다. 양쪽을 제곱하면 $2n^2=m^2$ 이 되고, 이는 즉 $m^2$ 이 짝수이며, m도 짝수라는 뜻이 된다. 따라서 $m=2l$ 이라고 가정시, 위의 식에 다시 대입하면 $n^2=2l^2$ 이 된다. 이 또한 $n^2$ 이 짝수란 뜻이며, n도 짝수란 뜻이 된다. 하지만 이렇게 되면 m과 n은 모두 짝수이기 때문에 처음 가정인 (m,n)=1과 모순된다. 따라서 $\sqrt{2}$ 는 유리수가 아니다.

피타코라스 정리로도 알려진 클래식한 예제다. 유리수와, 유리수가 아닌 무리수들이 모두 합쳐져서 실수가 되고, 우리는 이를 R로 표시한다.

실수집합 R의 성질

R은 수역이다. 실수로 뭔짓을 해도 결국 결과는 실수다.

덧셈과 곱셈에 대해서 위처럼 교환법칙, 결합법칙과 분배법칙을 만족한다.
실수역은 확실한 순서가 정해져있는 수역이다. 무슨 뜻이냐 하면 R 안의 어떤 다른 두 수 a와 b는 모두 대소관계가 성립한다. 이때문에 위처럼 덧셈과 곱셈시에는 위와같은 관계가 유지된다. 지금까지의 3가지 법칙은 유리수 내에서도 모두 동일하게 적용된다.

다만 유리수 Q와 실수역 R에는 어느정도 차이가 있는데, 이는 극한 계산시에 드러난다. 유리수는 극한 계산에 대해 닫혀있지 않은 반면 (유리수 수열의 극한은 유리수가 아닐수도 있다), 실수는 극한 계산에 대해 닫혀있다. 이는 곧 실수 R의 중요한 성질인 완비성으로 이어진다.

실수역의 완비성. 실수역 R은 수직선을 빈 공간 없이 연속적으로 모두 채운다. 유리수 Q는 수직선을 빽빽히 채우긴 하지만, 완벽히 채우지는 못한다. 때문에 실수의 완비성은 실수역의 연속성이라고도 불린다.

이 정의를 기반으로 교과서의 정의를 따르면, 실수역 중에서, 단조유계 수열은 무조건 극한이 존재한다.

교과서에는 없는 중요한 무리수 2가지다. 자연로그 e의 시리즈적 표현은 컴공 2학년 전공수업에도 쓰이니 컴공 친구들은 잘 기억해두자.

이 외의 수직선, 구간 등 교과서상 기초적 개념들은 생략한다.

절대값 부등식

기초중의 기초지만 본인은 복학 이후로 고등학교 기초 수학 지식까지 리셋되어 버린 상태라 다시 한번 짚고 넘어가려 한다.

절대값의 정의는 뭐 다들 알거고... 위의 성질들은 증명이나 기초 연산 수행시 계속 사용하게 될 중요한 성질들이다.굳이 따로 증명이 필요 없다. 교과서의 예시는 간단하게 보고만 넘어가면 될듯 하다.

숙제문제

내 생각에 짚고 넘어갈만한 문제들만 앞으로 장별로 정리하려 한다.

2번. $p$ 가 소수인 정수일때, $\sqrt{p}$ 가 무리수임을 증명하라.

위에 루트 2가지고 증명할때와 비슷하게, 루트 풀고 전개해서 유리수라 가정했을시의 조건인 a와 b의 최대공약수가 1이라는 조건과 모순된다는 점만 잘 찾아내면 비슷한류의 문제는 모두 풀린다.

6번.

기억해야할 공식: $x^n-1=(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+1)$

1.2. 변량과 함수

함수와 변량에 대한 기본적인 정의들을 집고 넘어가는데, 너무 기초적인 것들이라 굳이 다시 정리할만한 것들이 없다. 숙제도 마찬가지라 패스. 이부분은 기초 다지기고 시험에 직접적으로 나올만한 부분은 아니다.

1.3. 수열의 극한

여기서부터 본격적인 고수의 시작이라 보면 되겠다. 동시에 매우 중요한 부분이다.

수열 극한의 정의: 엡실론-N 논법

교과서가 제시하는 수열의 극한의 정의는 아래와 같다:

앞으로 계속 쓸 엡실론-N 논법이다. (나중엔 엡실론-델타도 있다;) 다시 한번 풀어서 얘기해보면:
$\{a_n\}$ 이라는 수열이 주어진다. 실수 $l$ 이 존재할때, 주어진 어떤 정수(+) $\epsilon$ 에 대해서, $\epsilon$ 의 크기와 상관 없이 항상 자연수 $N$ 이 존재하여 $|a_n-l|<\epsilon, s.t \space n>N$ 이 만족된다면 우리는 $l$ 을 $\{a_n\}$ 의 극한값이라고 하며, 사진처럼 표기한다.

예시들.

예시 1.

적당한 $N$ 값을 지정하는게 핵심이다. 그 외에는 위에 설명한 정의에 숫자만 바꿔넣는거다.

예시 2.

이경우는 $a>1$ 이라는 조건이 주어져서 절대값을 풀기 쉽다. 그 외는 정의대로 가면 만사 OK.

다른 예시들이다. 2번째 예시의 경우, $a>1$ 일때와 $a<1$ 일때 N값이 달라지기에 조건에 유의해야한다.

정리해봤을때 엡실론-N 논법의 골자는 아래와 같다:
$\forall \epsilon>0$ , 要使 (절대값 부등식) $<\epsilon$ , 只要 $n>$ 어떤 값. 取 $N=[값]+1$ (+1은 없어도됨), 有(절대값 부등식) $<\epsilon$ , 只要 $n>N$ . 끝!

극한 존재 정리

극한 증명시에 유용하게 쓰인다. 단조유계 수열은 무조건 극한이 존재한다! $x_{n+1}-x_n$ 이 0보다 작거나 큼을 증명하면 수열 $x_n$ 의 극한이 존재함을 알아낼 수 있다.

샌드위치 정리

슬프게도, 식을 부등식으로 풀어내서 N을 구해내는 방식이 항상 통하진 않는다. 식이 너무 복잡해서 어케 손을 대버릴수도 없는 경우들이 있는데, 이런 경우에 샌드위치 정리를 사용한다.

고등학교때도 배웠던 정의 그대로다. 극한값이 모두 같은 $b_n$ 과 $c_n$ 만 찾아낼 수 있다면 사이에 끼는 $a_n$ 의 극한값을 구해낼 수 있다. 시험 계산문제에도 유용하게 쓰이는 기술이지만, 사실 적절한 수열들을 찾아내는게 쉽지만은 않다...

예시들.

PPT에 나와있던 예제다. 수열을 식으로 표현하고, 이항정리를 이용해서 n이 0에 수렴함을 알아내고, 이때문에 수열이 1에 수렴한다는 식으로 증명한다. 이항정리가 요긴하게 쓰인 아주 좋은 예시니 기억해두자.

말은 샌드위치 정리지만 위의 문제들은 $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ 을 계산하고 그것의 극한만 구해도 답이 나온다.

이 예시도 이항정리를 사용하는데, 사용할수 있게 하기 위해 $h=a-1$ 을 이용한다. 이렇게 되면 $a^n$ 을 $(1+h)^n$ 으로 표현 가능하니까! 그것만 알면 항 하나만을 사용해서 바로 샌드위치 이론에 써먹을 수 있다.

극한부등식

증명시 사용 가능한 중요한 정리들이다. 극한값이 $b_n$ 의 극한보다 더 큰 $a_n$ 이 있다면 $n>N$ 시 $a_n>b_n$ 이 되는 자연수 N이 있다는 정리와, 위의 부등식이 성립할 시 $l_1>l_2$ 가 증명되기도 한다는 정리다. 하지만 수열값이 무조건 크다고 극한값도 큰건 아닌것에 주의하자.

극한 사칙연산

위 사진처럼 간단한 정리이다. 극한값을 계산할때 기초중의 기초로 쓰인다.

예시들

예시 1같은경우는 로피탈 마렵지만 아직 고수에서는 배우지 않았기에 쓸수 없다. 사칙연산 정리의 의의는 이걸 이용해서 위처럼 분모와 분자를 극한값이 나오게 만들어주고 계산하는데에 있다.

댕중요한 극한

중요라는 말까지 붙힐 정도로 중요한 극한이다. 컴공인 경우에는 추후 알고리즘 시간복잡도 계산 시에도 자주 보게 된다. 이걸 응용해서 고수에선 여러가지 극한값을 풀 수 있게 된다. 예를 들면...

예제들

이런 식이다. 이건 정말 간단한 예시고, 숙제 문제등을 보면 더 복잡한 응용들을 볼 수 있다.

1.4. 함수의 극한

엡실론-N 논법과 즐거운 시간을 보냈으니 이번엔 엡실론-델타 논법과 놀아볼 시간이다.

엡실론-델타 논법

단측이 아닌 양측 극한 기준으로 정의를 요약하면:
$f(x)$ 가 $(a-r,a)\cup (a,a+r)$ 에서 정의되어있는 상황에서, 실수 $l$ 이 존재한다면, 모든 $\epsilon>0$ 에 대해서 $0<\delta$ 가 무조건 존재하고, 이는 $0<|x-a|<\delta$ 가 만족될때 $|f(x)-l|<\epsilon$ 이 되게 한다. 이 경우 $x$ 가 $a$ 를 향해 갈때 $f(x)$ 가 $l$ 로 수렴한다고 한다.

이해하기 쉽게 얘기해보면, $0<∣x−a∣<δ$ 는 $x$ 에서 $a$ 까지의 거리가 $\delta$ 보다는 작지만 0은 아닌, 즉 $x$ 는 $a$ 가 아니라는 뜻이고, $|f(x)-l|<\epsilon$ 는 $f(x)$ 에서 $l$ 까지의 거리가 $\epsilon$ 보다 작다는 뜻이다.

어떠한 양수 $\epsilon$ 이 주어지더라도 어떠한 양수 $\delta$ 가 있어서 $a$ 와 같지 않은 $x$ 가 $a-\delta$ 와 $a+\delta$ 사이에 있는 값이라면 ( $a$ 근방 양측 구간에) $f(x)\in(l-\varepsilon,\,l+\varepsilon)$ 라는 뜻이다 (함수값이 $l$ 에서 크게 차이나지 않음). 이것만 잘 이해하면 크게 어렵지 않다!

각각 $x$ 가 무한대로 갈때, 극한값이 무한대로 갈때의 엡실론-델타 논법의 정의다.

예제들

적당한 델타값을 구하기 위해 부등식을 이쁘게 만들어야 한다. 루트값같은게 있다면 그거의 조건도 고려해 $x$ 값의 제한도 생각해서 델타값 후보로 두면 된다.

이 문제를 보면 이렇게 당연한 걸 왜 증명하는거지? 하고 생각할수도 있지만 그게 고수의 묘?미다. 삼각함수의 성질을 사용해서 이쁘게 부등식을 만들고 델타값을 구해내는 예시다.

(다시) 댕중요한 극한

중요하단다. 외우자. 샌드위치 정리덕에 같이 딸려온 $cos(x)$ 의 0에서의 극한도 1임을 알 수 있다.

함수 극한 정리와 성질들

샌드위치 정리는 그대로 함수의 극한에서도 성립한다.
수열의 극한처럼 극한값간의 덧셈, 뺄셈, 곱셈이 성립한다.
위의 관계가 성립한다.

1.5. 연속함수

생각보다 연속성의 정의를 이용해 증명을 시키는 문제가 왕녠티에 꽤 있으니 개념을 잘 이해해야 한다.

연속함수의 정의

말로 푸는 개념과 엡실론 델타 논법을 사용했을 시의 정의다. $x_0$ 에서의 극한값과 $f(x_0)$ 이 같다면 $f(x)$ 는 $x_0$ 에서 연속하다고 할수 있다.

间断点의 종류

좌와 우극한이 모두 존재할때 (하지만 둘의 값이 같지 않거나/같지만 $f(x_0)$ 의 값과 같지 않을때) 는 제 1류이고, 좌와 우극한중 하나라도 존재치 않을 경우에는 제 2류이다. 제 1류중, 좌와 우극한이 같지만 $f(x_0)$ 와 같지 않을 경우에는 可去间断点이 된다.