확률

확률(probability)
똑같은 실험을 무수히 많이 반복할 때 어떤 일이 일어나는 비율

표본공간
-모든 가능한 실험결과들의 집합

사건
-관심있는 실험결과들의 집합
-표본공간의 부분집합

어떤 사건이 일어날 확률
-사건의 원소의 수 / 표본공간의 원소의 수

$A$가 일어날 확률 $P(A) \to 0 \leq P(A) \leq 1$

확률을 구하기 위해 경우의 수를 쉽게 셀 수 있는 방법이 필요하다.
$\to$ 조합(Combination) 사용

조합(Combination)
-어떤 집합에서 순서에 상관없이 뽑은 원소의 집합
-n개 중 r개를 뽑는 조합의 수
$_nC_R = \begin{pmatrix}n \\ r \end{pmatrix} = \cfrac{n!}{r!(n-r)!}$

덧셈법칙
$(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

서로 배반(Mutually Exclusive)
두 사건의 교집합이 공집합일 경우
-사건 A와 사건 B가 서로 배반
-$P(A \cap B) = 0)$
$(A\cup B) = P(A) + P(B)$

조건부확률(Conditional Probability
어떤 사건 $A$가 일어났을 때, 다른 사건 $B$가 일어날 확률
$P(B|A) = \cfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$

곱셈법칙
$P(B|A) = \cfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$
$P(A \cap B) = P(B|A)P(A)$

서로 독립
$P(B|A) = P(B)$인 경우
-사건 $A$와 $B$는 서로 독립
$P(A \cap B) = P(B|A)P(A) = P(B)P(A) = P(A)P(B)$

여사건
사건 A가 일어나지 않을 사건
$A^C$
$P(A \cup A^C) = P(A) + P(A^C) = 1$

확률의 분할 법칙
$P(B) = P(A \cap B) + P(A^C \cup B)$
$= P(B|A)P(A) + P(B|A^C)P(A^C)$

베이즈 정리
$P(A|B) = \cfrac{P(A \cap B)}{P(B)}=\cfrac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|A^C)P(A^C)}$
$B$라는 조건이 추가적으로 주어질 때, $A$가 발생할 확률

어떤 사람이 검은색과 흰색 셔츠를 가지고 있는데, 매일 아침 3/4 정도는 검은색 셔츠를 입고 1/4 정도는 흰색 셔츠를 입는다.
이사람이 검은색 셔츠를 입었을 때는 3/4 정도 넥타이를 매고, 흰색 셔츠를 입었을 때는 1/2 정도 넥타이를 맨다고 하자.
어느날 이 사람이 넥타이를 맸다면, 이 사람이 검은색 셔츠를 입었을 확률을 구하시오.
사건 $A$ : 아침에 검은색 셔츠를 입는 사건
사건 $B$ : 넥타이를 맨 사건
-검은색 셔츠를 입고 넥타이를 맨 사건 : $P(B|A) = \frac{3}{4}$
-검은색 셔츠를 안 입고 넥타이를 맨 사건 : $P(B|A^C) = \frac{1}{2}$
넥타이를 맸을때, 검은색 셔츠를 입었을 확률 : $P(A|B)$
$P(A|B) = \cfrac{P(A \cap B)}{P(B)}=\cfrac{P(B|A)P(A)}{P(B|A)P(A)+P(B|A^C)P(A^C)} = \cfrac{(3/4) \times (3/4)}{(3/4) \times (3/4) + (1/2) \times (1/4)} = \cfrac{9}{11}$