[백준] Four Squares

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📖 문제

라그랑주는 1770년에 모든 자연수는 넷 혹은 그 이하의 제곱수의 합으로 표현할 수 있다고 증명하였다. 어떤 자연수는 복수의 방법으로 표현된다. 예를 들면, 26은 52과 12의 합이다; 또한 42 + 32 + 12으로 표현할 수도 있다. 역사적으로 암산의 명수들에게 공통적으로 주어지는 문제가 바로 자연수를 넷 혹은 그 이하의 제곱수 합으로 나타내라는 것이었다. 1900년대 초반에 한 암산가가 15663 = 1252 + 62 + 12 + 12라는 해를 구하는데 8초가 걸렸다는 보고가 있다. 좀 더 어려운 문제에 대해서는 56초가 걸렸다: 11339 = 1052 + 152 + 82 + 52.

자연수 n이 주어질 때, n을 최소 개수의 제곱수 합으로 표현하는 컴퓨터 프로그램을 작성하시오.

✍ 입력

입력은 표준입력을 사용한다. 입력은 자연수 n을 포함하는 한 줄로 구성된다. 여기서, 1 ≤ n ≤ 50,000이다.

📄 출력

출력은 표준출력을 사용한다. 합이 n과 같게 되는 제곱수들의 최소 개수를 한 줄에 출력한다.

✅ 코드

import java.io.BufferedReader;  
import java.io.IOException;  
import java.io.InputStreamReader;  
import java.util.Arrays;  
  
public class Main {  
    public static void main(String[] args) throws IOException {  
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));  
        int n = Integer.parseInt(br.readLine());  
        int[] dp = new int[n + 1];  
        Arrays.fill(dp, 4);  
        dp[0] = 0;  
        dp[1] = 1;  
  
        for(int i = 2; i <= n; i++) {  
            for(int j = 1; j * j <= i; j++) { 
                dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - j * j] + 1);  
            }  
        }  
  
        System.out.println(dp[n]);  
    }  
}

🧩 코드풀이

해당 문제는 DP를 활용하여 문제를 풀었는데 점화식이 잘 떠오르지 않아서 시간이 걸렸습니다.

첫번째로 우선 배열 전체 값을 최대 값인 4로 입력해둡니다.
이후 점화식을 파악하기 위해 1부터 아래처럼 차례대로 입력해봤습니다.

1 = $1^2$
2 = $1^2 + 1^2$
3 = $1^2 + 1^2 + 1^2$
4 = $2^2$
5 = $2^2 + 1^2$
6 = $2^2 + 1^2 + 1^2$
7 = $2^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2$
8 = $2^2 + 2^2$
9 = $3^2$
10 = $3^2 + 1^2$
11 = $3^2 + 1^2 + 1^2$
12 = $3^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2$
13 = $3^2 + 2^2$

위와 같은 형식으로 반복되는데 패턴이 $(i - j * j)$에서 $(j*j)$를 더해주면 값이 나오는 것을 확인했습니다.
여기서 제곱인 $(j*j)$는 1, 4, 9 일 때와 같이 1개이므로 $(i - j * j) + 1$을 해주면 원하는 값을 찾을 수 있습니다.