다익스트라 알고리즘, 플로이드 워셜 알고리즘 (최단 경로 알고리즘)

Konseo·2023년 8월 7일
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알고리즘

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최단 경로 알고리즘

  1. 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘을 의미한다.
  2. 다양한 문제 상황이 주어진다.
    • 한 지점에서 다른 한 지점까지의 최단 경로
    • 한 지점에서 모든 지점까지의 최단 경로
    • 모든 지점에서 모든 지점까지의 최단 경로
  3. 경로는 거리 및 비용으로 단어가 대체되는 경우가 많다.
  4. 각 지점은 그래프에서 노드로 표현한다.
  5. 지점 간 연결된 선은 간선으로 표현한다.

다익스트라 알고리즘

개요

  1. 특정한 노드에서 출발하여 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 계산한다.
  2. 다익스트라 알고리즘은 음의 간선이 없을 때 정상 동작한다.
    • 현실세계에서 도로(간선)는 음의 간선으로 표현되지 않는다.
  3. 다익스트라 알고리즘은 그리디 알고리즘으로 분류된다.
    • 매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복한다
  4. 그러나 기본적으로 최단 경로 알고리즘은 dynamic programming으로 분류된다.
    • (A->C) = (A->B)+(B->C)

동작 과정

  1. 출발 노드 설정
  2. 최단 거리 테이블을 초기화
  3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
  4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 값을 갱신한다.
  5. 모든 노드를 방문할 때까지 3, 4번을 반복한다.

특징

  1. 그리디 알고리즘
    • 매 상황에서 방문하지 않은 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복한다.
  2. 단계를 거치며 한 번 처리된 노드의 최단 거리는 fix되어 더 이상 값이 바뀌지 않는다.
    • 단계 당 하나의 특정 노드에 대한 최단거리를 확실히 찾는 것으로 이해할 수 있다.
  3. 다익스트라 알고리즘을 수행하면 distance list에 특정(출발) 노드로 부터 다른 모든 노드에 대한 최단 거리 정보가 저장된다.
    • 완벽한 형태의 최단 경로(ex. a-> e까지의 최단거리를 보장하는 '중간경로'를 모두 나타내시오 등)를 구하려면 소스 코드에 추가적인 기능을 더 넣어야한다.

구현 - 1 (간단한 구현방식)

매 단계마다 방문하지 않은 노드 중 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 (동작 과정 3) 1차원 테이블의 모든 원소를 확인 (=순차탐색) 한다

import sys

input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정


#노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())

#시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())

#각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]


#방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트 만들기
visted = [False] * (n + 1)

#최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n +1)

#모든 간선 정보를 입력받기

for _ in range(m):
  a, b, c = map(int, input().split())
  # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
  graph[a].append((b, c))


#방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환


def get_smallest_node():
  min_value = INF
  index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
  for i in range(1, n + 1):
    if distance[i] < min_value and not visted[i]:
      min_value = distance[i]
      index = i
  return index



def dijkstra(strat):
  #시작 노드에 대해서 초기화
  distance[start] = 0
  visted[start] = True
  for j in graph[start]:
    distance[j[0]] = j[1]
  #시작 노드를 제외한 전체 n-1개의 노드에 대해 반복
  for i in range(n - 1):
    #현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
    now = get_smallest_node()
    visted[now] = True
    #현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
    for j in graph[now]:
      cost = distance[now] + j[1]
      #현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
      if cost < distance[j[0]]:
        distance[j[0]] = cost

dijkstra(start)

#모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
  # 도달 할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
      print("INFINITY")

    #도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
      print(distance[i])

성능 분석 및 문제점

위의 전체 코드에서 우리는 1차원 테이블의 모든 원소를 확인(= 순차탐색) 하기 위해 아래와 같은 코드(함수)를 부분적으로 사용하였고

def get_smallest_node():
  min_value = INF
  index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
  for i in range(1, n + 1):
    if distance[i] < min_value and not visted[i]:
      min_value = distance[i]
      index = i
  return index

이는 노드의 개수를 V라고 했을 때, 총 O(V)번에 걸쳐서 매번 선형 탐색을 하기 때문에

for i in range(n - 1): #O(V)
    now = get_smallest_node() #O(V)

# ...(중략) ...

전체 시간 복잡도는 O(V^2)이다. ⛔️

일반적으로 1초에 2000만번 연산처리가 가능하면 합리적이므로, 노드 개수가 5000개 이하면 풀이가 가능하다. 하지만 노드의 개수가 10,000개를 넘어가는 문제라면 해당 코드로는 정답을 맞출 수 없다.

따라서 이러한 문제를 해결하기 위해 우선순위 큐를 사용한다.

우선순위 큐와 힙

  1. 우선순위 큐(Priority Queue)는 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 추상 자료형이다.

  2. 힙(Heap)은 우선순위 큐를 구현하는 데 사용하는 자료구조이다.

    • 최소 힙과 최대힙이 있다.
    • 힙으로 우선순위 큐를 구현할 경우 원소의 삽입, 삭제 모두 O(logN)의 시간복잡도를 갖는다.
  3. 다음은 힙 정렬(최대힙, 최소힙)에 대한 예제 코드이다.

    import heapq
    
    def heapsort(iterable): # 오름차순
        h = []
        result = []
        for value in iterable:
            heapq.heappush(h, value)
        for _ in range(len(h)):
            result.append(heapq.heappop(h))
        return result
    
    def heapsort_des(iterable): # 내림차순
        h = []
        result = []  # 내림차순 정렬하여 받을 리스트
        for value in iterable:
            heapq.heappush(h, -value)
        for _ in range(len(h)):
            result.append(-heapq.heappop(h))
        return result
    
    print(heapsort([2, 5, 7, 2, 8, 4, 6, 8, 9]))
    print(heapsort_des([2, 5, 7, 2, 8, 4, 6, 8, 9]))

구현 - 2 (우선순위 큐 이용)

힙 자료구조를 이용하여 성능을 개선해서 구현을 해보자. 구현 1과 원리는 완전히 똑같다. 다만,

매 단계마다 방문하지 않은 노드 중 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 (동작 과정 3) 1차원 테이블의 모든 원소를 확인 (=순차탐색) 하는 것이 아니라, (최소) 힙 자료구조를 사용한다.

import heapq

# sys.stdin.readline() 이란 파이썬 내장 함수로 input()을 치환하면,
# 입력 데이터 수가 많아도 빠르게 동작 가능하다.
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결된 노드에 대한 정보를 담는 리스트 생성
graph = [[] for i in range(n+1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a,b,c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c
    graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 최단 거리가 가장 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heqpq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시 <- ⭐️ 다익스트라 알고리즘 특징 2 
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print(“INFINITY”)
    # 도달할 수 있는 경우, 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

성능 분석

구현 - 1 코드와 달리 방문 여부를 판단하는 visited 테이블과 distance 테이블의 모든 원소를 확인하여 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환하는 get_smallest_node()가 없어지고, 다익스트라 함수 내에서 heapq.heappush()와 heapq.heappop()을 활용한 다는 것을 알 수 있다.

노드를 하나씩 꺼내 검사하는 반복문(while문)은 노드의 개수 V 이상의 횟수로는 처리되지 않는다. 또한 현재 우선순위 큐에서 꺼낸 연결된 다른 노드들을 확인하는 총 횟수는 최대 간선의 개수만큼 연산이 실행될 수 있습니다.

따라서 전체 시간복잡도는 O(ElogV) 이다. ✅

플로이드 워셜 알고리즘

개요

  1. 모든 노드에서 다른 모든 노드까지의 최단 경로를 모두 계산한다.
  2. 다익스트라와 마찬가지로 단계별로 거쳐 가는 노드를 기준으로 알고리즘을 수행한다.
    • 다만, 다익스트라 알고리즘의 핵심이었던 '방문하지 않은 노드 중에서 최단거리가 가장 짧은 노드를 선택하는 과정'이 필요하지 않다.
  3. 1차원이 아닌 2차원 테이블에 최단 거리 정보를 저장한다.
  4. 다이나믹 프로그래밍 유형으로 분류된다.

동작 과정

  1. 각 단계마다 특정한 노드 k를 거쳐가는 경우를 확인한다.
  2. a에서 b로 가는 최단 거리보다 a에서 c를 거쳐 b로 가는 거리가 짧은지 검사한다.
  3. 점화식 : D(ab) = min(D(ab),D(ak)+D(kb))

코드

INF=int(1e9)

n=int(input())
m=int(input())

graph=[[INF]*(n) for _ in range(n+1)]

for a in range(n): # 노드가 0 부터 n-1까지 있다고 가정
	for b in range(n):
    	if a==b:
        	graph[a][b] = 0

for _ in range(m):
	# A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
    a, b, c = map(int,input().split())
    graph[a][b] = c

for k in range(n):
	for a in range(n):
    	for b in range(n):
        	graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b)
            
for a in range(n):
	for b in range(n):
    	if graph[a][b] == INF:
        	print("INFINITE", end="")
        else:
        	print(grpah[a][b], end="")
    print()

성능 분석

  1. 노드의 개수가 N개 일 때, 알고리즘 상으로 N번의 단계를 수행합니다.
  2. 각 단계마다 O(N^2)의 연산을 통해 현재 노드를 거쳐 가는 모든 경로를 고려한다.
  3. 즉, 전체 시간 복잡도는 O(N^3)이다.
    • 노드의 개수가 작을 때만 사용이 가능하다
    • 파이썬 기준 대략 300 아래여야 함

🦾 깨달은 점

  1. 우선순위 큐는 data type, 힙은 data structure !
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둔한 붓이 총명함을 이긴다
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