[백준 14889] 스타트와 링크

https://www.acmicpc.net/problem/14889

문제

오늘은 스타트링크에 다니는 사람들이 모여서 축구를 해보려고 한다. 축구는 평일 오후에 하고 의무 참석도 아니다. 축구를 하기 위해 모인 사람은 총 N명이고 신기하게도 N은 짝수이다. 이제 N/2명으로 이루어진 스타트 팀과 링크 팀으로 사람들을 나눠야 한다.

BOJ를 운영하는 회사 답게 사람에게 번호를 1부터 N까지로 배정했고, 아래와 같은 능력치를 조사했다. 능력치 Sij는 i번 사람과 j번 사람이 같은 팀에 속했을 때, 팀에 더해지는 능력치이다. 팀의 능력치는 팀에 속한 모든 쌍의 능력치 Sij의 합이다. Sij는 Sji와 다를 수도 있으며, i번 사람과 j번 사람이 같은 팀에 속했을 때, 팀에 더해지는 능력치는 Sij와 Sji이다.

N=4이고, S가 아래와 같은 경우를 살펴보자.

i\j	1	2	3	4
1		1	2	3
2	4		5	6
3	7	1		2
4	3	4	5

예를 들어, 1, 2번이 스타트 팀, 3, 4번이 링크 팀에 속한 경우에 두 팀의 능력치는 아래와 같다.

스타트 팀: S12 + S21 = 1 + 4 = 5
링크 팀: S34 + S43 = 2 + 5 = 7
1, 3번이 스타트 팀, 2, 4번이 링크 팀에 속하면, 두 팀의 능력치는 아래와 같다.

스타트 팀: S13 + S31 = 2 + 7 = 9
링크 팀: S24 + S42 = 6 + 4 = 10
축구를 재미있게 하기 위해서 스타트 팀의 능력치와 링크 팀의 능력치의 차이를 최소로 하려고 한다. 위의 예제와 같은 경우에는 1, 4번이 스타트 팀, 2, 3번 팀이 링크 팀에 속하면 스타트 팀의 능력치는 6, 링크 팀의 능력치는 6이 되어서 차이가 0이 되고 이 값이 최소이다.

입력

첫째 줄에 N(4 ≤ N ≤ 20, N은 짝수)이 주어진다. 둘째 줄부터 N개의 줄에 S가 주어진다. 각 줄은 N개의 수로 이루어져 있고, i번 줄의 j번째 수는 Sij 이다. Sii는 항상 0이고, 나머지 Sij는 1보다 크거나 같고, 100보다 작거나 같은 정수이다.

출력

첫째 줄에 스타트 팀과 링크 팀의 능력치의 차이의 최솟값을 출력한다.

입출력 예

풀이

이 문제는 조합을 이용해서 풀었다. n명의 사람들을 두 팀으로 나눠서 능력치 차이가 가장 적은 방법을 찾아야하기 때문에 두 팀으로 나누는 조합을 모두 다 계산해서 최솟값을 찾으면 될거라고 생각했다.

알고리즘은 다음과 같다. (코드 보면서 이해하면 더 이해하기 쉬움!)

1. diff 변수를 선언해준다. (최솟값을 구하는 변수이기 때문에 무한의 값으로 임의의 값 1e9를 넣어줌)
2. n명의 사람 중 n/2명을 뽑은 조합을 모두 담은 리스트 (combinations(range(n), n//2))를 순회하면서 하나씩 start팀으로 배정해준다.
3. start팀을 제외한 나머지를 link팀으로 배정해준다. (차집합 사용)
4. start팀과 link팀의 능력치를 저장할 변수를 0으로 선언해준다.
5. start팀에서 2명씩 조합해서 능력치를 더해준다. (2명씩 조합하는 이유는 주어진 그래프가 같은 팀에 속했을 때 팀에 더해지는 능력치이기 때문)
6. link팀에서 2명씩 조합해서 능력치를 더해준다.
7. 두 팀의 능력치의 차이와 diff 변수를 비교해서 더 작은 값을 diff 함수에 넣어준다.

이 모든 작업이 끝나면 diff의 최솟값을 얻을 수 있으므로 답을 구할 수 있다.

코드

from itertools import combinations

n = int(input())
graph = [list(map(int, input().split())) for _ in range(n)]

diff = int(1e9)
for start in combinations(range(n), n//2):
    link = set(range(n)) - set(start)
    sum_start, sum_link = 0, 0
    for i, j in combinations(start, 2):
        sum_start += (graph[i][j] + graph[j][i])
    for i, j in combinations(link, 2):
        sum_link += (graph[i][j] + graph[j][i])
    diff = min(diff, abs(sum_start - sum_link))

print(diff)