본 포스트는 고려대학교 수학과 김일두 교수님의 강의와 Rudin의 Principle of Mathematical Analysis을 바탕으로 작성되었습니다.

Def 1.1 Ordered pair

순서쌍(Ordered pair)의 정의를 알아보자.
Let $x$ and $y$ be elements
$(x,y):=\{\{x\}, \{x,y\}\}$

Def 1.4 Cartesian product

Let $S$ and $T$ be sets.
$S \times T := \{(x,y) : x \in S, \space y \in T\}$

Def 1.5 Relation

Let $S$ : set
A (binary) relation on $S$ is a subset of the Cartesian product $S \times S$.
Let $\mathcal{R}$ be a relation on $S$.
$\mathcal{R} \subset S \times S$
So $\mathcal{R}$ is denoted by $\sim$ if $(x, y) \in \mathcal{R} \Leftrightarrow x \sim y$

Def 1.7 Order

Let $S$ : set
An order of on $S$ is a relation on $S$, denoted by $<$, with the following two properties:
$(i)$ 만약 $x \in S$ and $y \in S$라면 다음 세 관계(statements) 중 하나만을 만족해야한다.

$(ii)$ Let $x, y, z \in S$ If $x < y$ and $y < z$, then $x < z$

Def 1.8 Ordered set

An ordered set is a set $S$ in which an order is defined.
즉, if $\exists$ an order on $S$

Def 1.9 the maximum and minimum

Let $S$ be an ordered set and $E \subset S$
$(i)$ if $a \in E$ and $e \leq a$ $\forall e \in E$, then $a$ is the maximum of $E$
$(ii)$ if $a \in E$ and $a \leq e$ $\forall e \in E$, then $a$ is the maximum of $E$

핵심은 최소 또는 최대인 $a$가 집합 $E$의 원소여야한다는 것이다.

Def 1.10 Upper bound and Lower bound

상계(Upper bound)와 하계(Lower bound)에 대해 알아보자.
S가 집합이고 $E \subset S$를 만족할 때,

$(i)$ $\alpha, \beta \in S$ such that $x \leq \beta$, $\forall x \in E$ 라면 $E$는 bounded above이고 $\beta$는 upper bound이다.
$(ii)$ $\alpha, \beta \in S$ such that $x \geq \beta$, $\forall x \in E$ 라면 $E$는 bounded below이고 $\beta$는 lower bound이다.

상계와 하계는 따라서 여러 점의 집합일 수 있다.

Def 1.11 Supremum (상한)

S가 집합이고 $E \subset S$를 만족하며 $E$가 bounded above이고 $\alpha \in S$일 때,

$(i)$ $\alpha$가 $E$의 upper bound이고
$(ii)$ 만약 $\gamma < \alpha$인 $\gamma$가 $E$의 upper bound가 아니라면

$\alpha$는 least upper bound of $E$ 또는 the supremum of $E$라고 한다.

$\Leftrightarrow$ If $\gamma$ is an upper bound of $E$ then $\forall \gamma \geq \alpha$

Supremum은 다음과 같이 쓴다.

$\sup{E}$는 $E$의 모든 upper bounds 집합 중 가장 작은 member이다.

Def 1.13 Infimum (하한)

S가 집합이고 $E \subset S$를 만족하며 $E$가 bounded above이고 $\alpha \in S$일 때,

$(i)$ $\alpha$가 $E$의 lower bound이고
$(ii)$ 만약 $\gamma > \alpha$인 $\gamma$가 $E$의 lower bound가 아니라면

$\alpha$는 greatest lower bound of $E$ 또는 the infimum of $E$라고 한다.

$\Leftrightarrow$ If $\gamma$ is a lower bound of $E$ then $\forall \gamma \leq \alpha$

Infimum은 다음과 같이 쓴다.

$\inf{E}$는 $E$의 모든 lower bounds 집합 중 가장 큰 member이다.

Def 1.14 Rational numbers

유리수(rational numbers) $\mathbb{Q}$에 대해 알아보자.

Example 1.15

$(a)$

아래 두 집합은 $p > 0$인 $\mathbb{Q}$에 대해 여집합 관계에 놓여있다.

집합 $A$는 분명 upper bounds를 갖고있으므로 bounded above이다. upper bounds of $A$는 정확히 집합 $B$인데 $B$는 $\mathbb{Q}$에 대해 smallest member가 없으므로 $\sup{A}$는 존재하지 않는다.

마찬가지로 집합 $B$ 역시 lower bounds를 갖고 있으므로 bounded below이지만 $A$가 $\mathbb{Q}$에 대해 greatest member가 없으므로 $\inf{B}$는 존재하지 않는다.

$(b)$

만약 $\alpha = \sup{E}$가 존재한다면, $\alpha$는 집합 $E$에 포함이 될 수도 있고, 안될 수도 있다. 다음 상황을 따져보자.

이 때, $\max{E_1} = not \space exist$이고 $\sup{E} = 0$인 반면, $\max{E_2} = 0$이고 $\sup{E} = 0$이다.

즉, $\sup{E_1} = \sup{E_2} = 0$이며 $0 \notin E_1$, $0 \in E_2$이다.