[TIL] 21.05.11 미분(derivate)

1. 지수함수와 미분의 apply() 적용

밑이 $e$ 인 지수 함수 $e^x$ 의 도함수는 $e^x$ 자신이 된다. $e^x$ 를 $exp(x)$로 쓰기도 한다.

임의의 지수함수 $ax$ 는 자연로그 $ln$ 을 사용하여, $e^{lna^x}=e^{xlna}$ 로 쓸 수 있다. 따라서,

일반적인 지수함수 $ax$ 의 도함수는 $(ln a)ax = a^x lna$가 된다.

$exp(x)$ 는 미분방정식 ${{dy}\over{dx}} = y$ 의 특수해가 된다.

이는 반대로 미분방정식${{dy}\over{dx}}=y, y(0)=1$

를 만족하는 초기치문제의 해로 지수함수를 정의할 수도 있다는 의미를 담는다.

import math
# from math import e or exp // exp(지수)로 사용
def num_one(x):
    return 20*(x**4) + 27*(x**2) + math.e*(2*x)

df['new'] = df['x'].apply(num_one)

e = 지수함수 (오래 전에 배웠던 수학이라 엄청 헤맸음..ㅠㅠ)

apply() 함수로 미분된 함수 적용 가능

2. math함수의 사용

math 함수 docs 참조 (한글로 되어있음)

3. x와 y에 대해서 편미분 후 최적의 parameter 구하기

$\varepsilon(x, y) = (e \cdot x - y)^2 + 50 \cdot x$

x의 편미분 값

$\partial x = 2e^2 * 2x-2ey$

$\partial y = 2ex + 2y + 50$
x의 $\varepsilon$ 을 구하는 식 = ${2ey + 0} \over {2e^2}$

y의 $\varepsilon$ 을 구하는 식 = ${2ex - 50 + 0} \over {2}$

위의 식에서 $x$는 $y$가 $3$ 일 때 최적, $y$는 $x$가 $10$ 일 때 최적으로 값을 구함.

def x_ε(optimal, y):
  xε = (2*e*y + optimal) / (2*e**2)
  return xε

def y_ε(optimal, x):
  yε = (2*e*x - 50 + optimal) / 2
  return yε