[2485] 가로수

직선으로 되어있는 도로의 한 편에 가로수가 임의의 간격으로 심어져있다. KOI 시에서는 가로수들이 모두 같은 간격이 되도록 가로수를 추가로 심는 사업을 추진하고 있다. KOI 시에서는 예산문제로 가능한 한 가장 적은 수의 나무를 심고 싶다.
편의상 가로수의 위치는 기준점으로 부터 떨어져 있는 거리로 표현되며, 가로수의 위치는 모두 양의 정수이다.
예를 들어, 가로수가 (1, 3, 7, 13)의 위치에 있다면 (5, 9, 11)의 위치에 가로수를 더 심으면 모든 가로수들의 간격이 같게 된다. 또한, 가로수가 (2, 6, 12, 18)에 있다면 (4, 8, 10, 14, 16)에 가로수를 더 심어야 한다.
심어져 있는 가로수의 위치가 주어질 때, 모든 가로수가 같은 간격이 되도록 새로 심어야 하는 가로수의 최소수를 구하는 프로그램을 작성하라. 단, 추가되는 나무는 기존의 나무들 사이에만 심을 수 있다.

입력

• 첫째 줄에는 이미 심어져 있는 가로수의 수를 나타내는 하나의 정수 N이 주어진다(3 ≤ N ≤ 100,000). 둘째 줄부터 N개의 줄에는 각 줄마다 심어져 있는 가로수의 위치가 양의 정수로 주어지며, 가로수의 위치를 나타내는 정수는 1,000,000,000 이하이다. 가로수의 위치를 나타내는 정수는 모두 다르다.

출력

• 모든 가로수가 같은 간격이 되도록 새로 심어야 하는 가로수의 최소수를 첫 번째 줄에 출력한다.

생각

가로수들의 위치가 공차수열을 이루도록 하는 최소의 추가할 가로수 수를 구해야 한다.
1 3 7 13 이러면
5 9 11, 3개가 더 필요하다는 것을 구하는 문제이다.

거리를 일정하게 만들어야 하기 때문에 거리들의 최대공약수를 구하면 된다! WOW!
최대공약수로 가로수들 거리를 나눠주고 여기에 -1을 한걸 합하면 우리가 구하는 수다.
왜 1을 빼주냐면, 양끝에 이미 심어져있기 때문이다.

문제에서 가로수당 거리가 정렬되어있다는 말은 없어서 정렬해줘야할듯..

처음 코드

namespace SongE
{
    public class Program
    {
        static public int gcd(int num1, int num2)
        {
            if (num2 == 0) return num1;
            else return gcd(num2, num1 % num2);
        }
        static void Main(string[] args)
        {
            using var input = new System.IO.StreamReader(Console.OpenStandardInput());
            using var print = new System.IO.StreamWriter(Console.OpenStandardOutput());

            int n = int.Parse(input.ReadLine());

            int[] tree = new int[n];
            for (int i = 0; i < n; i++)
            {
                tree[i] = int.Parse(input.ReadLine());
            }
            Array.Sort(tree);

            List<int> distance = new();
            for(int i = 0; i + 1 < tree.Length; i++)
            {
                distance.Add(tree[i + 1] - tree[i]);
            }

            int g = distance[0];
            for(int i = 1; i < distance.Count; i++)
            {
                g = gcd(g, distance[i]);
            }

            int count = 0;
            for(int i = 0; i < n - 1; i++)
            {
                count += distance[i] / g - 1;
            }

            print.WriteLine(count);
        }
    }
}