[기초통계학]3. 확률변수와 확률분포

Dev_Sanizzang·2021년 9월 9일

통계응용(R)

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확률변수와 확률분포의 개념

확률변수(random variable)

표본공간의 각 원소를 실수 값으로 바꾸는 함수
확률분포를 가짐
동전을 세 번 던지는 실험에서의 표본공간
-> S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}
동전의 뒷면이 나오는 횟수 -> 확률 변수

이산표본공간(discrete sample space)

유한개 또는 셀 수 있는 무한개의 원소로 구성된 표본공간

이산확률변수(discrete random variable)
- 동전의 앞면이 나올 때까지의 시행 횟수
- 100개의 제품중 불량품의 수

연속표본공간(continuous sample space)

실직선 상의 임의의 구간으로 나타낼 수 있는 표본공간

연속확률변수(continuos random variable)
- 사람의 키와 몸무게
- 제품의 수명

이산확률분포(discrete probability distribution)\

이산표본공간의 확률변수로부터 생성된 확률분포

확률질량함수(probability mass function)
P(X=x) = f(x)
Σf(x) = 1, 0<=f(x)<=1
예) 동전을 세 번 던지는 시행에서의 뒷면의 개수 X의 확률 분포

# 표본공간 생성
> S = tosscoin2(3)

# 뒷면의 개수를 세는 함수 정의
> countT = function(x) sum(x=="T")

# 확률변수 정의 => apply() 함수를 행별로 적용
> X = apply(S, 1, countT)

# 원소의 개수 집계 및 확률분포 생성
> table(X)/nrow(S)
X
  0     1     2     3
0.125 0.375 0.375 0.125

예) 주사위를 네 번 던지는 실험에서 나오는 숫자 합 X의 확률분포

# 주사위 4개의 눈의 합 확률분포
rolldie.sum(4)

예) 50개의 제품 중 8개의 불량품이 있는 상자로부터 10개의 제품을 랜덤 샘플링했을 때, 발견되는 불량품 개수 X에 대한 확률분포

hyp.sample(50, 8, 10)

연속확률분포(continuous probability distribution)

연속적인(셀 수 없는) 값을 갖는 확률변수의 확률분포
확률분포함수 f(x)는 확률 P(a<X<b)를 구하기 위한 확률밀도 함수

# 확률밀도함수 f(x) 정의
> pdf = function(x) 2*exp(-2*x)*(x>0)

# 적분함수 integrate() 사용하여 확률 계산
> integrate(pdf, 0, 1)[[1]]
[1] 0.8646647

누적분포함수(cumulative distribution function)

확률변수 X가 특정한 값 x 이하일 확률
F(x) = P(X<=x)

확률분포의 누적분포함수(cumulative distribution function)는 이산형과 연속형의 구분 없이 다음과 같이 정의된다.
-> 누적분포함수 F(x)는 확률변수의 값이 x이하일 확률임 단, 이산확률 분포에서는 누적확률분포의 등호에 주의하여 확률을 계산할 필요가 있음
예) 동전을 세 번 던지는 확률실험에서 뒷면의 개수 X에 대한 누적분포함수

# 동전 3개 중 뒷면의 개수 
> (freq = choose(3, 0:3))
[1] 1 3 3 1
disc.cdf(0:3, freq, mt = "동전 3개 중 뒷면의 개수 CDF")

예) 연속확률 분포의 CDF f(x)= 2e^-2, 0<x<∞인 경우 누적 분포함수 F(x)를 구하시오

# 확률밀도함수 f(x) 정의 및 누적분포함수 그래프 작성
> pdf = function(x) 2*exp(-2*x)*(x>0)

# 누적 확률 표시 (F(0.2), F(0.4), F(0.6), F(0.8), F(1), F(2))
cont.cdf(pdf, low=-1, up=3, xs=c((1:5)*0.2, 2))