시리즈 개요

최근 알고리즘 문제를 꾸준히 풀었으나, 풀이 기록이 뜸했다
겨울은 지났는데 여전히 쌀쌀한 상반기 채용 시장과, 그에 반비례하는 달아오른 조급함 때문이라 해 두자.

아무튼 알고리즘 문제 해결하며 DP 분야 문제들을 집중적으로 해결하고 그 과정을 상세히 남기고자 한다. 사유는 이전에 푼 문제들을 복기하는데 분명 난이도가 높지 않은 DP 문제도 내가 푼 문제같지 않았으며 풀이 과정이 안 떠오르더라.

그걸 보고 문제를 상세히 파해치고 점화식도 AI 도움을 받아 도출 과정을 이미지 등의 미디어로 자세히 넣으려 한다

[Silver II] 연속합 - 1912

문제 링크

성능 요약

메모리: 25704 KB, 시간: 236 ms

분류

다이나믹 프로그래밍

제출 일자

2025년 4월 5일 14:59:01

문제 설명

n개의 정수로 이루어진 임의의 수열이 주어진다. 우리는 이 중 연속된 몇 개의 수를 선택해서 구할 수 있는 합 중 가장 큰 합을 구하려고 한다. 단, 수는 한 개 이상 선택해야 한다.

예를 들어서 10, -4, 3, 1, 5, 6, -35, 12, 21, -1 이라는 수열이 주어졌다고 하자. 여기서 정답은 12+21인 33이 정답이 된다.

입력

첫째 줄에 정수 n(1 ≤ n ≤ 100,000)이 주어지고 둘째 줄에는 n개의 정수로 이루어진 수열이 주어진다. 수는 -1,000보다 크거나 같고, 1,000보다 작거나 같은 정수이다.

출력

첫째 줄에 답을 출력한다.

풀이 설계하기

이 문제가 어렵던 이유는 DP 유형의 문제들의 기본인 '이전 상태를 활용한다'의 범위가 너무 넓게 느껴져서인 것 같다.

그래서 다른 알고리즘 문제와 다르게 그리디와 DP는 문제와 함께 'DP'라고 유형을 대놓고 알려줘도 아이디어를 도출하지 못한다면 '야매'로도 풀 수 없다.

이것이 본 시리즈를 시작한 이유이기도 하다.

본 문제로 돌아가서, 수의 범위는 음수부터 양수 모두 포함하기 때문에 다음 수를 포함하는 것이 반드시 최대값을 보장하지 않는다. 첫 예시도 10부터 시작하여 마지막까지 더하더라도 정답이 아니고, 정답은 12와 21 두 수만을 고른 경우이다.

점화식 세우기

우선 핵심인 점화식을 세워야 한다.
이 문제에서는 하나의 값에서는 하나의 상태만 가지고 있기에 1차원 배열로 상태들을 저장했다.
그러면 dp[i] (0 <= i < N) 일때의 dp[i]는 어떤 값을 가지고 있어야 할까?
dp[i]는 [i]까지 인덱스의 최대 값을 가지고 있어야 한다.
그러면 이전 인덱스까지의 최대값(dp[i-1]) + 현재 값(number[i])을 더한 것이 현재의 최대값이 될까?

예제 1번부터 극단적인 반례가 등장한다.
-35라는 값은 이전 값에 비해서 아주 크기가 작은 값이고, 연속 합 특성상 반드시 이전 값을 포함할 필요는 없다. 따라서 7번 인덱스인 12부터는 이전 인덱스의 값을 계승할 지는 계산해 봐야 안다.

이전 인덱스의 값을 활용하지 않고 새로 시작한다면, numbers[i]부터 새로 시작할 수 있다.

따라서 각 인덱스(1 이상)마다 선택지는
1. 이전 값 활용하여 더하기
2. 새로 시작하기
가 있다.

이를 식으로 나타낸다면
1. dp[i - 1] + numbers[i]
2. numbers[i]
이고 둘 중 큰 값을 활용하면 된다.

따라서 점화식은 최종적으로

의 형태가 된다.
0번부터 6번까지는 이전 값을 활용하는 것이 최적해가 되지만, 7번값부터는 그렇지 않기 때문에 새로 시작하는 모습을 볼 수 있다.

여기서 최대값은 매번 값을 갱신하면서 최대값도 갱신하는 방식으로 찾으면 된다.

(claude를 활용하여 실행 과정을 마크다운 이미지로 만들어 달라고 했다
놀랍다.. 나보다 html을 더 잘하는 것 같다.)

시간 복잡도

매번 이전 값과 현재 값을 비교하는 과정을 1부터 N-1까지 거친다.
따라서 주어진 수의 개수에 비례하게 되는 O(N)의 시간 복잡도를 가진다.

정답 코드

import java.io.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        BufferedWriter bw = new BufferedWriter(new OutputStreamWriter(System.out));
        int N = Integer.parseInt(br.readLine());
        int[] numbers = new int[N];
        int[] dp = new int[N];

        String[] ipts = br.readLine().split(" ");

        for (int i = 0; i < N; i++) {
            numbers[i] = Integer.parseInt(ipts[i]);
            dp[i] = numbers[i];
        }

        int answer = dp[0];

        for (int i = 1; i < N; i++) {
            dp[i] = Math.max(dp[i], dp[i-1] + numbers[i]);
            answer = Math.max(dp[i], answer);
        }

        System.out.println(answer);
    }
}

최대값이라는 고정 관념 때문에 점화식 세우기나 최대값 취하는 과정에서 어려움을 겪였다.
dp[i] = dp[i - 1] + 알파같은 식이라던가, dp[N-1]이 최대인 유형이라던가..
이따 점심 먹고 기타리스트 문제도 같은 식으로 풀어 보려 한다.