[파이썬] BOJ 1904 : 01타일

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1904번: 01타일

문제

지원이에게 2진 수열을 가르쳐 주기 위해, 지원이 아버지는 그에게 타일들을 선물해주셨다. 그리고 이 각각의 타일들은 0 또는 1이 쓰여 있는 낱장의 타일들이다.

어느 날 짓궂은 동주가 지원이의 공부를 방해하기 위해 0이 쓰여진 낱장의 타일들을 붙여서 한 쌍으로 이루어진 00 타일들을 만들었다. 결국 현재 1 하나만으로 이루어진 타일 또는 0타일을 두 개 붙인 한 쌍의 00타일들만이 남게 되었다.

그러므로 지원이는 타일로 더 이상 크기가 N인 모든 2진 수열을 만들 수 없게 되었다. 예를 들어, N=1일 때 1만 만들 수 있고, N=2일 때는 00, 11을 만들 수 있다. (01, 10은 만들 수 없게 되었다.) 또한 N=4일 때는 0011, 0000, 1001, 1100, 1111 등 총 5개의 2진 수열을 만들 수 있다.

우리의 목표는 N이 주어졌을 때 지원이가 만들 수 있는 모든 가짓수를 세는 것이다. 단 타일들은 무한히 많은 것으로 가정하자.

입력

첫 번째 줄에 자연수 N이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 1,000,000)

출력

첫 번째 줄에 지원이가 만들 수 있는 길이가 N인 모든 2진 수열의 개수를 15746으로 나눈 나머지를 출력한다.

풀이

• 경우의 수를 세는 문제이니, N=1, N=2 같은 작은 사례부터 단순히 체크해서 일반화 하는 '다이나믹 프로그래밍식' 접근을 해볼 수 있다.

• 사실 노가다해보면 나오는 규칙은 피보나치 수열(N= N-1 + N-2) 이지만, 그것이 어떻게 나올 수 있는건지 나만의 방식으로 이해해보고 싶었다.

• 우선 N번째의 수들과 N-1 번째의 수들을 보면 한 가지 규칙을 알 수 있다. N-1번째의 수에서 어느자리이든 1을 더하면 N번째 수가 나온다는 것이다.

• 예를 들어 N=4일 때 0011/ 0000/ 1001 / 1100 /1111 이 나온다.

• N=5일 때 00111/ 00001/ 10011 / 11001 / 11111 / 00100 / 10000 / 11100 이 나온다. 1씩 더 쓴 것임을 알 수 있다.

• 그리고 단, N-1번째의 규칙만 가지고 설명할 수 없는게 있다. N-1번째와 N번째는 자리 수가 1개만 차이나기 때문에 1 만 들어갈 수 있다. 우리는 00 도 조합해서 써야하기 때문에 N-2 번째 수도 한번 볼 필요가 있다.

• N-2번째의 수와 N번째의 수를 보면 11 혹은 00을 쓴 결과라고 볼 수 있다. 2자리가 차이나기 때문에 00 을 쓸 수 있는 것이다.

  • N=3 일 때 001 / 100 / 111 이다.

• 허나 여기서 중복이 발생한다. N-2번째 수의 11은 사실 N-1번째의 1 이 2번 들어가는 것이라고 볼 수 있다. 중복이다.

  • 여기서 중복 제거를 위해 N-2번째 수의 규칙 하나를 포기하던가, N-1번째 수의 규칙 하나를 포기하면 될 것 같아 보인다.

• (어느 자리이든 상관없이) N-2번째 규칙(00이나 11을 넣는 것) 중 11은 포기하고, 00 만 넣는 규칙을 넣는 개수 + N-1번째의 규칙(1을 넣는 것) 개수를 구하면 된다.

  • 한 가지 경우의 수가 겹치지만, 결국 N-2번째의 개수 + N-1번째의 개수가 되기 때문에 N의 모든 가짓수 = N-2 번째의 가짓수 + N-1번째의 가짓수 라고 볼 수 있다.

코드

import sys
N = int(sys.stdin.readline())

# 하향식 피보나치 접근
dp_table = [0] * 1000001
# 1,2일 때의 경우의 수는 하드 코딩
dp_table[1] = 1
dp_table[2] = 2

# 나머지 구하는 문제니까 아예 계산할때 계속 구해서 적용한다.
for i in range(3,N+1):
    dp_table[i] = (dp_table[i-2] + dp_table[i-1]) % 15746

print(dp_table[N])