[통계] 유의성 검정

seonyoung·2024년 8월 5일
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📁 A/B 검정

✔️두 그룹 (A, B)과 비교하는게 포인트!

1) A/B 검정이란 무엇인가?

<A/B 검정>

  • A/B 검정은 두 버전(A와 B) 중 어느 것이 더 효과적인지 평가하기 위해 사용되는 검정 방법
  • 마케팅, 웹사이트 디자인 등에서 많이 사용됨
  • 사용자들을 두 그룹으로 나누고, 각 그룹에 다른 버전을 제공한 후, 반응을 비교
  • 일반적으로 전환율, 클릭률, 구매수, 방문 기간, 방문한 페이지 수, 특정 페이지 방문 여부, 매출 등의 지표를 비교

<목적>

  • 두 그룹 간의 변화가 우연이 아니라 통계적으로 유의미한지를 확인

2) A/B 검정이 실제로 어떻게 적용되어질까?

  • 두 개를 비교하여 구매 전환율이 큰 것을 선택
    • 온라인 쇼핑몰에서 두 가지 디자인(A와 B)에 대한 랜딩 페이지를 테스트하여 어떤 디자인이 더 높은 구매 전환율을 가져오는지 평가
import numpy as np
import scipy.stats as stats

# 가정된 전환율 데이터
group_a = np.random.binomial(1, 0.30, 100)  # 30% 전환율
group_b = np.random.binomial(1, 0.45, 100)  # 45% 전환율

# t-test를 이용한 비교
t_stat, p_val = stats.ttest_ind(group_a, group_b)
print(f"T-Statistic: {t_stat}, P-value: {p_val}")

💡 stats.ttest_ind

  • scipy.stats.ttest_ind 함수는 독립표본 t-검정(Independent Samples t-test)을 수행하여 두 개의 독립된 집단 간 평균의 차이가 유의미한지 평가
  • 이 함수는 두 집단의 데이터 배열을 입력으로 받아서 t-통계량과 p-값을 반환
    • t-통계량 (statistic)
      • t-검정 통계량 / 두 집단 간 평균 차이의 크기와 방향을 나타냄
    • p-값 (pvalue)
      • p-값은 귀무 가설이 참일 때, 현재 데이터보다 극단적인 결과가 나올 확률
      • 이 값이 유의수준(α) 보다 작으면 귀무 가설을 기각하고 이 값이 유의수준(α) 보다 크면 귀무 가설을 채택

📁 가설검정

✔️ 데이터가 특정 가설을 지지하는지 검정하는게 포인트!

1) 가설검정이란 무엇인가?

<가설검정>

  • 표본 데이터를 통해 모집단의 가설을 검증하는 과정
  • 즉, 데이터가 특정 가설을 지지하는지 평가하는 과정
  • 귀무가설(H0)과 대립가설(H1)을 설정하고, 귀무가설을 기각할지를 결정
  • 데이터 분석시 두가지 전략을 취할 수 있음
    • 확증적 자료분석
      • 미리 가설들을 먼저 세운 다음 가설을 검증해 나가는 분석
    • 탐색적 자료분석(EDA)
      • 가설을 먼저 정하지 않고 데이터를 탐색해보면서 가설 후보들을 찾고 데이터의 특징을 찾는 것

<단계>
1. 귀무가설(H0)과 대립가설(H1) 설정
2. 유의수준(α) 결정
3. 검정통계량 계산
4. p-값과 유의수준 비교
5. 결론 도출

2) 통계적 유의성과 p값

<통계적 유의성>

  • 통계적 유의성은 결과가 우연히 발생한 것이 아니라 어떤 효과가 실제로 존재함을 나타내는 지표
  • p값은 귀무 가설이 참일 경우 관찰된 통계치가 나올 확률을 의미
  • 일반적으로 p값이 0.05 미만이면 결과를 통계적으로 유의하다고 판단

<p-값>

  • 귀무가설이 참일 때, 관찰된 결과 이상으로 극단적인 결과가 나올 확률
  • 일반적으로 p-값이 유의수준(α)보다 작으면 귀무가설을 기각
  • 유의수준으로 많이 사용하는 값이 0.05

<p-값을 통한 유의성 확인>

  • p-값이 0.03이라면, 3%의 확률로 우연히 이러한 결과가 나올 수 있음
  • 일반적으로 0.05 이하라면 유의성이 있다고 봄

3) 신뢰구간과 가설검정의 관계

<신뢰구간과 가설검정>

  • 신뢰구간과 가설검정은 밀접하게 관련된 개념
  • 둘 다 데이터의 모수(ex) 평균)에 대한 정보를 구하고자 하는 것이지만 접근 방식이 다름
  • 신뢰구간
    • 특정 모수가 포함될 범위를 제공

      신뢰구간 (Confidence Interval)

    • 신뢰구간은 모집단의 평균이 특정 범위 내에 있을 것이라는 확률을 나타냄
    • 일반적으로 95% 신뢰구간이 사용되며, 이는 모집단 평균이 95% 확률로 이 구간 내에 있음을 의미
    • 만약 어떤 설문조사에서 평균 만족도가 75점이고, 신뢰구간이 70점에서 80점이라면, 우리는 95% 확률로 실제 평균 만족도가 이 범위 내에 있다고 말할 수 있음
  • 가설검정
    • 모수가 특정 값과 같은지 다른지 테스트

4) 가설검정이 실제로 어떻게 적용되어질까?

<가설을 설정하여 검증>

  • 새로운 약물이 기존 약물보다 효과가 있는지 검정
  • 이 때 새로운 약물은 기존 약물과 큰 차이가 없다는 것이 귀무가설
  • 대립가설은 새로운 약물이 기존 약물과 대비해 교과가 있다는 것
# 기존 약물(A)와 새로운 약물(B) 효과 데이터 생성
A = np.random.normal(50, 10, 100)
B = np.random.normal(55, 10, 100)

# 평균 효과 계산
mean_A = np.mean(A)
mean_B = np.mean(B)

# t-검정 수행
t_stat, p_value = stats.ttest_ind(A, B)

print(f"A 평균 효과: {mean_A}")
print(f"B 평균 효과: {mean_B}")
print(f"t-검정 통계량: {t_stat}")
print(f"p-값: {p_value}")

# t-검정의 p-값 확인 (위 예시에서 계산된 p-값 사용)
print(f"p-값: {p_value}")
if p_value < 0.05:
    print("귀무가설을 기각합니다. 통계적으로 유의미한 차이가 있습니다.")
else:
    print("귀무가설을 기각하지 않습니다. 통계적으로 유의미한 차이가 없습니다.")

📁 t검정

✔️ 가설검정의 대표적인 검정

1) t검정이란 무엇인가?

<t검정>

  • t검정은 두 집단 간의 평균 차이가 통계적으로 유의미한지 확인하는 검정 방법
  • 독립표본 t검정과 대응표본 t검정으로 나뉨

<독립표본 t검정>

  • 두 독립된 그룹의 평균을 비교

<대응표본 t검정>

  • 동일한 그룹의 사전/사후 평균을 비교

2) 가설검정이 실제로 어떻게 적용되어질까?

<p-값을 통한 유의성 확인>

  • 두 클래스의 시험 성적 비교(독립표본 t검정)
  • 다이어트 전후 체중 비교(대응표본 t검정)
# 학생 점수 데이터
scores_method1 = np.random.normal(70, 10, 30)
scores_method2 = np.random.normal(75, 10, 30)

# 독립표본 t검정
t_stat, p_val = stats.ttest_ind(scores_method1, scores_method2)
print(f"T-Statistic: {t_stat}, P-value: {p_val}")

📁 다중검정

✔️ 여러 가설을 동시에 검정! 하지만 오류가 발생할 수 있음!

1) 다중검정이란 무엇인가?

<다중검정>

  • 여러 가설을 동시에 검정할 때 발생하는 문제
  • 각 검정마다 유의수준을 조정하지 않으면 1종 오류(귀무가설이 참인데 기각하는 오류) 발생 확률이 증가

<보정 방법>

  • 본페로니 보정, 튜키 보정, 던넷 보정, 윌리엄스 보정 등이 있음
  • 가장 대표적이고, 기본적인게 본페로니 보정

2) 다중검정과 보정을 어떻게 적용되어질까?

<여러 약물의 효과를 동시에 검정>

  • 이때 본페로니 보정을 사용해볼 수 있음
import numpy as np
import scipy.stats as stats

# 세 그룹의 데이터 생성
np.random.seed(42)
group_A = np.random.normal(10, 2, 30)
group_B = np.random.normal(12, 2, 30)
group_C = np.random.normal(11, 2, 30)

# 세 그룹 간 평균 차이에 대한 t검정 수행
p_values = []
p_values.append(stats.ttest_ind(group_A, group_B).pvalue)
p_values.append(stats.ttest_ind(group_A, group_C).pvalue)
p_values.append(stats.ttest_ind(group_B, group_C).pvalue)

# 본페로니 보정 적용
alpha = 0.05
adjusted_alpha = alpha / len(p_values)

# 결과 출력
print(f"본페로니 보정된 유의 수준: {adjusted_alpha:.4f}")
for i, p in enumerate(p_values):
    if p < adjusted_alpha:
        print(f"검정 {i+1}: 유의미한 차이 발견 (p = {p:.4f})")
    else:
        print(f"검정 {i+1}: 유의미한 차이 없음 (p = {p:.4f})")

📁 카이제곱검정

✔️ 범주형 데이터의 분석에 사용한다는 것이 포인트!

1) 카이제곱검정이란 무엇인가?

<카이제곱검정>

  • 범주형 데이터의 표본 분포가 모집단 분포와 일치하는지 검정(적합도 검정)
  • 두 범주형 변수 간의 독립성을 검정(독립성 검정)

<적합도 검정>

  • 관찰된 분포와 기대된 분포가 일치하는지 검정
  • p값이 높으면 데이터가 귀무 가설에 잘 맞음 / 즉, 관찰된 데이터와 귀무 가설이 적합
  • p값이 낮으면 데이터가 귀무 가설에 잘 맞지 않음 / 즉, 관찰된 데이터와 귀무 가설이 부적합

<독립성 검정>

  • 두 범주형 변수 간의 독립성을 검정
  • p값이 높으면 두 변수 간의 관계가 연관성이 없음 → 독립성이 있음
  • p값이 낮으면 두 변수 간의 관계가 연관성이 있음 → 독립성이 없음

2) 카이제곱검정은 어떻게 적용되어질까?

<범주형 데이터의 분포 확인 및 독립성 확인을 위해 사용>

  • 주사위의 각 면이 동일한 확률로 나오는지 검정(적합도 검정)
  • 성별과 직업 만족도 간의 독립성 검정(독립성 검정)
# 적합도 검정
observed = [20, 30, 25, 25]
expected = [25, 25, 25, 25]
chi2_stat, p_value = stats.chisquare(observed, f_exp=expected)
print(f"적합도 검정 카이제곱 통계량: {chi2_stat}, p-값: {p_value}")

# 독립성 검정
observed = np.array([[10, 10, 20], [20, 20, 40]])
chi2_stat, p_value, dof, expected = stats.chi2_contingency(observed)
print(f"독립성 검정 카이제곱 통계량: {chi2_stat}, p-값: {p_value}")

# 성별과 흡연 여부 독립성 검정
observed = np.array([[30, 10], [20, 40]])
chi2_stat, p_value, dof, expected = stats.chi2_contingency(observed)
print(f"독립성 검정 카이제곱 통계량: {chi2_stat}, p-값: {p_value}")

💡 stats.chisquare 함수

  • scipy.stats.chisquare 함수는 카이제곱 적합도 검정을 수행하여 관찰된 빈도 분포가 기대된 빈도 분포와 일치하는지 평가
  • 이 검정은 주로 단일 표본에 대해 관찰된 빈도가 특정 이론적 분포(예: 균등 분포)와 일치하는지 확인하는 데 사용
  • 반환 값
    • chi2: 카이제곱 통계량
    • p: p-값 / 이는 관찰된 데이터가 귀무 가설 하에서 발생할 확률

💡 stats.chi2_contingency 함수

  • scipy.stats.chi2_contingency 함수는 카이제곱 검정을 수행하여 두 개 이상의 범주형 변수 간의 독립성을 검정
  • 이 함수는 관측 빈도를 담고 있는 교차표(contingency table)를 입력으로 받아 카이제곱 통계량, p-값, 자유도, 그리고 기대 빈도(expected frequencies)를 반환
  • 반환 값
    • chi2 : 카이제곱 통계량
    • p : p-값 / 이는 관측된 데이터가 귀무 가설 하에서 발생할 확률
    • dof : 자유도 / 이는 (행의 수 - 1) * (열의 수 - 1)로 계산
    • expected : 기대 빈도 / 이는 행 합계와 열 합계를 사용하여 계산된 이론적 빈도

📁 제 1종 오류와 제 2종 오류

✔️ 두가지의 오류를 구분하는 것이 포인트!

1) 제 1종 오류와 제 2종 오류는 무엇일까?


-출처 : https://www.scribbr.co.uk/stats/type-i-and-type-ii-error/

<제 1종 오류>

  • 귀무가설이 참인데 기각하는 오류
  • 잘못된 긍정을 의미 (아무런 영향이 없는데 영향이 있다고 하는 것)
  • 한 단어로 위양성!
  • α를 경계로 귀무가설을 기각하기 때문에 제1종 오류가 α만큼 발생
  • 따라서 유의수준(α)을 정함으로써 제 1종 오류 제어 가능
  • 만약, 유의수준이 0.05라면 100번 중 5번 정도 일어날 수 있는 제 1종 오류는 감수하겠다는 것

💡 다중 검정시 제 1종 오류가 증가하는 이유?

  • 하나의 검정에서 제1종 오류가 발생하지 않을 확률은 1−α1-\alpha
  • m개의 독립된 검정에서 제1종 오류가 전혀 발생하지 않을 확률은 (1−α)m(1-\alpha)^{m}
  • 따라서, m개의 검정에서 하나 이상의 제1종 오류가 발생할 확률(즉, 전체 제1종 오류율)은
    1−(1−α)m1-(1-\alpha)^{m}
  • 이 값은 m이 커질수록 빠르게 증가 / ex) α=0.05, m=10인 경우
  • 1−(1−0.05)10≈0.4011-(1-0.05)^{10} \approx 0.401
  • 즉, 10개의 가설을 동시에 검정할 때 하나 이상의 가설에서 제 1종 오류가 발생할 확률이 약 40.1% 이므로 개별검증에서 발생하는 오류율(5%)보다 높음

<제 2종 오류>

  • 귀무가설이 거짓인데 기각하지 않는 오류
  • 잘못된 부정을 의미 (영향이 있는데 영향이 없다고 하는 것)
  • 한 단어로 위음성!
  • 제 2종 오류가 일어날 확률은 β로 정의
  • 제 2종 오류가 일어나지 않을 확률은 검정력(1-β)으로 정의
  • 하지만 이를 직접 통제할 수는 없음
  • 그나마 통제를 해볼 수 있는 방법은?
    • 표본크기 n이 커질 수록 β가 작아짐
    • α와 β는 상충관계에 있어서 너무 낮은 α를 가지게 되면 β는 더욱 높아짐

📌 예시

  • 새로운 약물이 효과가 없는데 있다고 결론 내리는 것(제 1종 오류)
  • 효과가 있는데 없다고 결론 내리는 것(제 2종 오류)
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원하는 바를 이루고 싶은 사람입니다.
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