[TIL] Group

Algebraic Structure (대수구조)

공집합이 아닌 집합 S와 그 위에 정의된 이항 연산 $\cdot$ 에 대해 $(S, \cdot\;)$ 을 대수 구조라 한다.

Cartesian Product (데카르트 곱)

$A_1 \times A_2 \times \cdots A_n = \{(x_1, x_2,\cdots,x_n)\;|\;x_1 \in A_1,x_2 \in A_2,\cdots,x_n \in A_n \}$

n번째 항의 원소가 n번째 원소인 순서쌍들의 집합
$\Reals\times \Reals$ 은 2차원 평면을 나타내는데 활용될 수 있다.

Binary Operation (이항 연산)

집합 S 위에서의 (집합 S에 닫혀있는) $\ \cdot:S \times S \to S$ 인 대응 관계를 이항 연산 (Binary operation) 이라 부른다.
여기서 x는 Cartesian product (데카르트 곱)으로 $(a,b)\mapsto a\cdot b$ 인 연산이라 보면 된다.

대수 구조의 종류

연산자 수	0	1	2
대수 구조	집합	모노이드, 군	환, 체

Group (군)

대수 구조 $(S, \cdot\;)$가 아래 4가지 성질을 만족할 때, 이를 군이라 한다.

1. 연산에 대해 닫힘 (Closure)
   • $\forall a, b \in S$에 대하여 $a \cdot b, b \cdot a \in S$
   • 이항 연산과 대수 구조의 정의를 생각해보면 대수 구조이면 1번은 만족할 수 밖에 없다.
2. 항등원의 존재성 (Existance of identity element)
   • $\exist e \in S, \forall s \in S$에 대하여 $e\cdot s = s\cdot e = s$
   • 쉽게 생각하면 덧셈에서의 0, 곱셈에서의 1처럼 그 수와 연산해도 자기 자신이 나오는 수이다.
3. 역원의 존재 (Existance of inverse element)
   • $\forall s \in S, \exist s' \in S$에 대하여 $s\cdot s' = s'\cdot s = e$
   • 연산 결과가 항등원이 나오게 하는 수
4. 결합 법칙 (Assosiative law)
   • $\forall s_1, s_2, s_3 \in S$에 대하여 $s_1\cdot (s_2\cdot s_3) = (s_1\cdot s_2)\cdot s_3$

Abelian Group (가환군)

교환 법칙을 추가로 만족하는 군

• 교환 법칙
  - $\forall s_1, s_2 \in S$ 에 대하여 $s_1\cdot s_2 = s_2\cdot s_1$