백준 1463번

문제

정수 X에 사용할 수 있는 연산은 다음과 같이 세 가지 이다.

X가 3으로 나누어 떨어지면, 3으로 나눈다.
X가 2로 나누어 떨어지면, 2로 나눈다.
1을 뺀다.
정수 N이 주어졌을 때, 위와 같은 연산 세 개를 적절히 사용해서 1을 만들려고 한다. 연산을 사용하는 횟수의 최솟값을 출력하시오.

입력

첫째 줄에 1보다 크거나 같고, 106보다 작거나 같은 정수 N이 주어진다.

출력

첫째 줄에 연산을 하는 횟수의 최솟값을 출력한다.

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동적 프로그래밍을 사용하는 문제 중 하나이다. 동적 프로그래밍에는 우선 점화식을 구하는 것이 중요하므로, 점화식을 먼저 구해보았다.

우선, 2와 3일때는 한번의 연산만으로 1에 도달할 수 있으므로 1이 출력되어야 한다. 그래서, 배열에 1을 먼저 넣어두고, 2와 3이 입력되었을 경우 1을 출력하고 프로그램을 끝내도록 하였다. 그럼 4 이상부터는 어떤 연산을 거쳐야 할까?

4 -> 4 / 2 = 2 -> 2 / 2 = 1 or 4 - 1 = 3 -> 3 / 3 = 1 =>> 2번
5 -> 5 - 1 = 4 -> 4 / 2 = 2 -> 2 / 2 = 1 or 5 - 1 = 4 -> 4 - 1 = 3 -> 3 / 3 = 1 =>> 3번
6 -> 6 / 2 = 3 -> 3 / 3 = 1 or 6 / 3 = 2 -> 2 / 2 = 1 =>> 2번
7 -> 7 - 1 = 6 -> 6 / 2 = 3 -> 3 / 3 = 1 or 7 - 1 = 6 -> 6 / 3 = 2 -> 2 / 2 = 1 =>> 3번

위 예시들을 보고, 다음과 같은 점화식을 세울 수 있다:

1. 만약 수가 2로 나뉘어진다면, 2로 나눈 몫이 가졌던 최솟값 + 1
2. 만약 수가 3으로 나뉘어진다면, 3으로 나눈 몫이 가졌던 최솟값 + 1
3. 2도 3으로도 나뉘어 떨어지지 않는다면, 입력받은 수 - 1이 가졌던 최솟값 + 1

가 우리가 원하는 답이 되겠다. 이 중 최솟값을 구하면 된다.

짤 때 주의해야 할 점은, 2와 3 모두 나뉘어 떨어지는 수가 입력되었을 경우를 잘 생각하고 짜야한다는 것, 그리고 2와 3으로 나누는 과정에서의 최솟값을 잘 구해줘야 한다는 것이다. 백준에서 질문 사이트에 올라와있던 반례는 642였다.

642는 다음과 같은 과정으로 나뉘어진다.

1. 642 -> 321 -> 320 -> 160 -> 80 -> 40 -> 20 -> 10 -> 9 -> 3 -> 1 =>> 10번
2. 642 -> 214 -> 107 -> 106 -> 53 -> 52 -> 26 -> 13 -> 12 -> 4 -> 3 -> 1 =>> 11번

보통 생각하기에는 3으로 나누는 것이 최적해에 가까워지는 방법이라고 생각할수도 있다. 하지만 이러한 반례가 존재하는 것처럼, 위의 3가지 경우의 수를 모두 비교해보는 것이 좋은 방법이다.

#include <stdio.h>
#define MAX 1000000

int arr[MAX];

int main(void) {
	arr[2] = 1; arr[3] = 1;
	int input;
	scanf("%d", &input);
	if (input == 2 || input == 3) {
		printf("%d\n", 1);
		return 0;
	}
	int num1_1 = 0, num1_2 = 0, num1, num2;
	for (int i = 4; i <= input; i++) {
		num1_1 = 0; num1_2 = 0; num1 = 0; num2 = 0;
		if (i % 2 == 0 && i % 3 != 0) { // 2의 배수이면서 3의 배수는 아닐 때
			num1 = arr[i / 2] + 1;
		}
		else if (i % 2 != 0 && i % 3 == 0) { // 3의 배수이면서 2의 배수는 아닐 때
			num1 = arr[i / 3] + 1;
		}
		else if (i % 2 == 0 && i % 3 == 0) { // 2의 배수이면서 3의 배수, 즉 6의 배수일 때
			num1 = arr[i / 2] + 1 < arr[i / 3] + 1 ? arr[i / 2] + 1 : arr[i / 3] + 1;
		}
		else {
			arr[i] = arr[i - 1] + 1;
			continue;
		}
		num2 = arr[i - 1] + 1;
		arr[i] = num1 < num2 ? num1 : num2;

	}
	printf("%d\n", arr[input]);
	return 0;
}