[2805] 나무 자르기

🔗 문제 링크

https://www.acmicpc.net/problem/2805

🔍 문제 설명

상근이는 나무 M미터가 필요하다. 근처에 나무를 구입할 곳이 모두 망해버렸기 때문에, 정부에 벌목 허가를 요청했다. 정부는 상근이네 집 근처의 나무 한 줄에 대한 벌목 허가를 내주었고, 상근이는 새로 구입한 목재절단기를 이용해서 나무를 구할것이다.

목재절단기는 다음과 같이 동작한다. 먼저, 상근이는 절단기에 높이 H를 지정해야 한다. 높이를 지정하면 톱날이 땅으로부터 H미터 위로 올라간다. 그 다음, 한 줄에 연속해있는 나무를 모두 절단해버린다. 따라서, 높이가 H보다 큰 나무는 H 위의 부분이 잘릴 것이고, 낮은 나무는 잘리지 않을 것이다. 예를 들어, 한 줄에 연속해있는 나무의 높이가 20, 15, 10, 17이라고 하자. 상근이가 높이를 15로 지정했다면, 나무를 자른 뒤의 높이는 15, 15, 10, 15가 될 것이고, 상근이는 길이가 5인 나무와 2인 나무를 들고 집에 갈 것이다. (총 7미터를 집에 들고 간다) 절단기에 설정할 수 있는 높이는 양의 정수 또는 0이다.

상근이는 환경에 매우 관심이 많기 때문에, 나무를 필요한 만큼만 집으로 가져가려고 한다. 이때, 적어도 M미터의 나무를 집에 가져가기 위해서 절단기에 설정할 수 있는 높이의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오.

⚠️ 제한사항

• (1 ≤ N ≤ 1,000,000, 1 ≤ M ≤ 2,000,000,000)

• 나무의 높이의 합은 항상 M보다 크거나 같기 때문에, 상근이는 집에 필요한 나무를 항상 가져갈 수 있다.

• 높이는 1,000,000,000보다 작거나 같은 양의 정수 또는 0이다.

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🗝 풀이 (언어 : Java)

이분 탐색으로 시간복잡도를 줄여서 푸는 문제이다. 각각 나무별로 지정한 높이에서 자르면 얻는 나무가 얼마인지 매번 N번 만큼 M의 범위를 하나씩 물어보면 시간복잡도 $O(N*H(나무높이))$이 나오고, 조건상 최대값을 계산해보면 (100만 x 10억)이 되어 연산이 시간 제한인 1초보다 훨씬 많은 시간이 소요될 것이다. 따로 높이를 추측하는 기똥찬 방법이 없고, 계속 하나하나 살펴봐야 하기 때문에 탐색 횟수를 줄이는 쪽을 생각해야 한다. 이분탐색을 사용해 나무의 최저 높이 ~ 최대 높이까지의 범위를 탐색하면 시간복잡도는 $O(logH)$이 소요되어, 위의 최악의 경우에도 100만 x $log_{10}10^{10}$으로 1000만번 이하의 계산으로 정답을 찾을 수 있다. 최종 시간복잡도는 $O(N * logH)$. 중간에 자른 나무들의 총합을 계산할 때 int로 생각없이 짜다가 틀려서 좀 해멨다. long으로 바꿔주면 정답이다.

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.util.Arrays;
import java.util.StringTokenizer;

class Main {

    private static int solve(int n, int m, int[] trees) {
        Arrays.sort(trees);
        int B = 0, T = trees[n - 1], max = 0;
        while (B <= T) {
            int height = (B + T) / 2;
            long sum = 0;
            for (int tree : trees) {
                if (tree > height)
                    sum += (tree - height);
            }
            if (sum < m)
                T = height - 1;
            else if (sum > m) {
                B = height + 1;
                max = Math.max(max, height);
            } else
                return height;
        }
        return max;
    }

    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        StringTokenizer st = new StringTokenizer(br.readLine(), " ");
        int n = Integer.parseInt(st.nextToken()), m = Integer.parseInt(st.nextToken());
        int[] trees = new int[n];
        StringTokenizer st2 = new StringTokenizer(br.readLine(), " ");
        for (int i = 0; i < n; i++)
            trees[i] = Integer.parseInt(st2.nextToken());
        System.out.println(solve(n, m, trees));
    }
}