[이코테] 기타 그래프 이론

샤이니·2022년 2월 18일
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서로소 집합

  • 서로소 집합(Disjoint Sets)란 공통 원소가 없는 두 집합을 의미한다.
  • 예를 들어, {1,2}와 {3,4}는 서로소 관계이지만 {1,2}와 {2,3}은 서로소 관계가 아니다.

서로소 집합 자료구조

  • 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조이다.

  • 서로소 집합 자료구조는 두 종류의 연산을 지원한다.

    • 합집합(Union) : 두 개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산이다.
    • 찾기(Find) : 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산이다.

  • 서로소 집합 자료구조는 합치기 찾기(Union Find) 자료구조라고 불리기도 한다.

  • 여러 개의 합치기 연산이 주어졌을 때 서로소 집합 자료구조의 동작 과정은 다음과 같다.

    • 합집합(Union) 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인한다.
      • A와 B의 루트 노드 A', B'를 각각 찾는다.
      • A'를 B'의 부모 노드로 설정한다.

  • 모든 합집합(Union) 연산을 처리할 때까지 1번의 과정을 반복한다.

서로소 집합 자료구조: 연결성

  • 서로소 집합 자료구조에서는 연결성을 통해 손쉽게 집합의 형태를 확인할 수 있다.
  • 기본적인 형태의 서로소 집합 자료구조에서는 - 루트 노드에 즉시 접근할 수 없다.
    루트 노드를 찾기 위해 부모 테이블을 계속해서 확인하며 거슬러 올라가야 한다.

서로소 집합 자료구조: 기본적인 구현 방법 (Python)

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
    if parent[x] != x:
        return find_parent(parent, parent[x])
    return x
    
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b
        
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기

# 부모 테이블상에서, 부모를 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
    parent[i] = i
    
# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)
    
# 각 원소가 속한 집합 출력하기
print('각 원소가 속한집합: ', end='')
for i in range(1, v+1):
    print(find_parent(parent, i), end=' ')
    
print()

# 부모 테이블 내용 출력하기
print('부모 테이블:', end='')
for i in range(1, v+1):
    print(parent[i], end= ' ')

서로소 집합 자료구조: 기본적인 구현의 문제점

  • 합집합(Union) 연산이 편향되게 이루어지는 경우 찾기(Find) 함수가 비효율적으로 동작한다.
  • 최악의 경우에는 찾기(Find) 함수가 모든 노드를 다 확인하게 되어 시간 복잡도가 O(V)이다.

서로소 집합 자료구조: 경로 압축

  • 찾기(Find) 함수를 최적화하기 위한 방법으로 경로 압축(Path Compression)을 이용할 수 있다.
    • 찾기(Find) 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블 값을 바로 갱신한다.
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]
  • 경로 압축 기법을 적용하면 각 노드에 대하여 찾기(Find) 함수를 호출한 이후에 해당 노드의 루트 노드가 바로 부모 노드가 된다.
  • 동일한 예시에 대해서 모든 합집합(Union) 함수를 처리한 후 각 원소에 대하여 찾기(Find) 함수를 수행하면 다음과 같이 부모 테이블이 갱신된다.
  • 기본적인 방법에 비하여 시간 복잡도가 개선된다.

서로소 집합 자료구조: 경로 압축 (Python)

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
    if parent[x] != x:
        return find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]
    
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b
        
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기

# 부모 테이블상에서, 부모를 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
    parent[i] = i
    
# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    union_parent(parent, a, b)
    
# 각 원소가 속한 집합 출력하기
print('각 원소가 속한집합: ', end='')
for i in range(1, v+1):
    print(find_parent(parent, i), end=' ')
    
print()

# 부모 테이블 내용 출력하기
print('부모 테이블:', end='')
for i in range(1, v+1):
    print(parent[i], end= ' ')

서로소 집합을 활용한 사이클 판별

  • 서로소 집합은 무방향 그래프 내에서의 사이클을 판별할 때 사용할 수 있습니다.

    • 참고로 방향 그래프에서의 사이클 여부는 DFS를 이용하여 판별할 수 있다.

  • 사이클 판별 알고리즘은 다음과 같다.

    • 각 간선을 하나씩 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인한다.
      • 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 합집합(Union) 연산을 수행한다.
      • 루트 노드가 서로 같다면 사이클(Cycle)이 발생한 것이다.
    • 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 1번 과정을 반복한다.
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
    if parent[x] != x:
        return find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]
    
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b
        
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기

# 부모 테이블상에서, 부모를 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
    parent[i] = i
    
Cycle = False
    
# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    if find_parent(parent, a) == find_parent(parent,b):
        cycle = True
        break
    else:
        union_parent(parent, a, b)
    
if cycle:
    print("사이클 발생")
else:
    print("사이클 발생 안함")

신장트리

  • 그래프에서 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프를 의미한다.
    • 모든 노드가 포함되어 서로 연결되면서 사이클이 존재하지 않는 다는 조건은 트리의 조건이기도 하다.

최소 신장 트리

  • 최소한의 비용으로 구성되는 신장 트리를 찾아야 할 때 어떻게 해야 할까?
  • 예를 들어 N개의 도시가 존재하는 상황에서 두 도시 사이에 도로를 놓아야 전체 도시가 서로 연결될 수 있게 도로를 설치해야 하는 경우를 생각해 보자.
    • 두 도시 A, B를 선택했을 때 A에서 B로 이동하는 경로가 반드시 존재하도록 도로를 설치한다.

크루스칼 알고리즘

  • 대표적인 최소 신장 트리 알고리즘이다.
  • 그리디 알고리즘으로 분류된다.
  • 구체적인 동작 과정은 다음과 같다.
    • 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬한다.
    • 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인한다.
    • 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함시킨다.
    • 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않는다.
  • 모든 간선에 대하여 2번의 과정을 반복한다.
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
    if parent[x] != x:
        return find_parent(parent, parent[x])
    return parent[x]
    
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
    a = find_parent(parent, a)
    b = find_parent(parent, b)
    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b
        
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기

edges = []
result = 0

# 부모 테이블상에서, 부모를 자신으로 초기화
for i in range(1, v+1):
    parent[i] = i    
   
# 모든 간선에 대한 입력 받기
for _ in range(e):
    a, b, cost = map(int, input().split())
    # 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
    edges.append((cost, a, b))
    
# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()

# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
    cost, a, b =  edge
    # 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
    if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
        union_parent(parent, a, b)
        result += cost
        
print(result)

크루스칼 알고리즘 성능 분석

  • 크루스칼 알고리즘은 간선의 개수가 E개 일 때, O(ElogE)의 시간 복잡도를 가진다.
  • 크루스칼 알고리즘에서 가장 많은 시간을 요구하는 곳은 간선을 정렬을 수행하는 부분이다.
    • 표준 라이브러리를 이용해 E개의 데이터를 정렬하기 위한 시간 복잡도는 O(ElogE)이다.

위상 정렬

  • 사이클이 없는 방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것을 의미한다.
    진입차수와 진출차수

  • 진입차수(Indegree) : 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수

  • 진출차수(Outdegree) : 특정한 노드에서 나가는 간선의 개수

위상 정렬 알고리즘

  • 큐를 이용하는 위상 정렬 알고리즘의 동작 과정은 다음과 같다.
    • 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣는다.
      • 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 나가는 간선을 그래프에서 제거한다.
      • 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다.
  • 결과적으로 각 노드가 큐에 들어온 순서가 위상 정렬을 수행한 결과와 같다.
  • 이때 그래프는 사이클이 없는 방향 그래프(DAG)여야 한다.
from collection import deque

# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입 차수는 0으로 초기화
indetree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
graph = [[] for i in range(v+1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
    a, b = map(int, input().split())
    graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동가능
    # 진입 차수를 1 증가
    indegree[b] += 1
    
# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
    result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
    q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용
    # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for i in range(1, v+1):
        if indetree[i] == 0:
            q.append(i)
    # 큐가 빌때까지 반복
    while q:
        # 큐에서 원소 꺼내기
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
        for i in graph[now]:
            indegree[i] -= 1
            # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드르 ㄹ큐에 삽입
            if indegree[i] == 0:
                q.append(i)
    # 위상 정렬을 수행한 결과 출력
    for i in result:
        print(i, end= ' ')
        
topology_sort()

위상 정렬의 특징

  • 위상 정렬은 DAG에 대해서만 수행할 수 있다.
    • DAG(Direct Acyclic Graph): 순환하지 않는 방향 그래프
  • 위상 정렬에서는 여러 가지 답이 존재할 수 있다.
    • 한 단계에서 큐에 새롭게 들어가는 원소가 2개 이상인 경우가 있다면 여러 가지 답이 존재한다.
  • 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단할 수 있다.
    • 사이클에 포함된 원소 중에서 어떠한 원소도 큐에 들어가지 못한다.
  • 스택을 활용한 DFS를 이용해 위상 정렬을 수행할 수도 있다.

위상 정렬 알고리즘 성능 분석

  • 위상 정렬을 위해 차례대로 모든 노드를 확인하며 각 노드에서 나가는 간선을 차례대로 제거해야 한다.
    • 위상 정렬 알고리즘의 시간 복잡도는 O(V+E) 이다.
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