[이코테] 다이나믹 프로그래밍

샤이니·2022년 2월 4일

DP 알고리즘 이코테

이코테

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다이나믹 프로그래밍 (동적 계획법)

메모리를 적절히 사용하여 수행 시간 효율성을 비약적으로 향상시키는 방법
이미 계산된 결과(작은 문제)는 별도의 메모리 영역에 저장하여 다시 계산하지 않도록 함
- 즉, 한번 계산하여 해결한 문제는 다시 계산하지 않도록 함
top-down(하향식), bottom-up(상향식) 두가지 방식이 있음
일반적인 프로그래밍 분야에서의 동적(Dynamic)의 의미
- 자료구조에서 동적 할당(Dynamic Allocation)은 '프로그램이 실행되는 도중에 실행에 필요한 메모리를 할당하는 기법'을 의미
- 반면, 다이나믹 프로그래밍에서 '다이나믹'은 별다른 의미 없이 사용된 단어

다이나믹 프로그래밍의 조건

최적 부분 구조 (Optimal Substructure)
큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며 작은 문제의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있음
2. 중복되는 부분 문제 (Overlapping Subproblem)
동일한 작은 문제를 반복적으로 해결해야 함

피보나치 수열

: 다이나믹 프로그래밍으로 효과적으로 계산 가능

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

점화식 : 인접한 항들 사이의 관계식
피보나치 수열의 점화식
a(n) = a(n-1) + a(n-2), a(1) = 1, a(2) = 1

프로그래밍에서는 이러한 수열을 배열이나 리스트를 이용해 표현한다.

피보나치 수열이 계산되는 과정
- n번째 피보나치 수를 f(n)라고 할 때 4번째 피보나치 수 f(4)를 구하는 과정

# 피보나치 함수(Fibonacci Function)을 재귀함수로 구현
def fibo(x):
    if x == 1 or x == 2:
        return 1
    return fibo(x - 1) + fibo(x - 2)

print(fibo(4)) # 결과 3

피보나치 수열의 시간 복잡도 : 재귀

단순 재귀 함수 - 지수 시간 복잡도
- f(2)가 여러번 호출되는 것을 확인할 수 있음 (중복되는 부분 문제)
  
  -> f(2) 계산을 5번이나 다시 계산하게 됨
- 세타 표기법: 𝜃(1.618⋯ᴺ)
- 빅오 표기법: O(2ᴺ)
  - 빅오 표기법을 기준으로 f(30)을 계산하기 위해 약 10억가량의 연산을 수행해야 한다..

다이나믹 프로그래밍을 이용한 피보나치 수열 해법

다이나믹 프로그래밍의 사용 조건을 만족하는지 ?
- 1. 최적 부분 구조: 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있음
- 1. 중복되는 부분 문제: 동일한 작은 문제를 반복적으로 해결
피보나치 수열은 다이나믹 프로그래밍의 사용 조건을 만족한다.

메모이제이션 (Memoization)

다이나믹 프로그래밍을 구현하는 방법 중 하나 (탑다운 방식 = 하향식)
한 번 계산한 결과를 메모리 공간에 메모하는 기법
- 같은 문제를 다시 호출하면 메모했던 결과를 그대로 가져옴
- 값을 기록해 놓는다는 점에서 캐싱(Caching)이라고도 함

탑다운 vs 보텀업

탑다운(메모이제이션) : 하향식
보텀업 : 상향식
다이나믹 프로그래밍의 전형적인 형태는 보텀업 방식
- 결과 저장용 리스트는 DP 테이블이라고 부름
엄밀히 말하면 메모이제이션은 이전에 계산된 결과를 일시적으로 기록해 놓는 넓은 개념을 의미
- 따라서 메모이제이션은 다이나믹 프로그래밍에 국한된 개념은 아님
- 한 번 계산된 결과를 담아 놓기만 하고 다이나믹 프로그래밍을 위해 활용하지 않을 수 도 있음 : 즉 DP != 메모제이션

피보나치 수열: top-down 다이나믹 프로그래밍 소스코드

# 한 번 계산된 결과를 Memoization하기 위한 리스트 초기화
d = [0] * 100

# 피보나치 함수(Fibonacci Function)를 재귀함수로 구현(탑다운 다이나믹 프로그래밍)
def fibo(x):
    # 종료 조건(1 혹은 2일 때 1을 반환)
    if x == 1 or x == 2:
        return 1
    # 이미 계산한 적 있는 문제라면 그대로 반환
    if d[x] != 0:
        return d[x]
    # 아직 계산하지 않은 문제라면 점화식에 따라서 피보나치 결과 반환
    d[x] = fibo(x - 1) + fibo(x - 2)
    return d[x]

print(fibo(99)) # 18922995834555169026

피보나치 수열: bottom-up 다이나믹 프로그래밍 소스코드

# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 100

# 첫번째 피보나치 수와 두번째 피보나치 수는 1
d[1] = 1
d[2] = 2
n = 99

# 반복문으로 구현(보텀업 다이나믹 프로그래밍)
for i in range(3, n + 1):
    d[i] = d[i - 1] + d[i - 2]

print(d[n]) # 218922995834555169026

피보나치 수열: 메모이제이션 동작 분석

이미 계산된 결과를 메모리에 저장하면 다음과 같이 색칠된 노드만 처리할 것을 기대할 수 있음
실제로 호출되는 함수에 대해서만 확인해보면 다음과 같이 방문

메모이제이션 - 피보나치 수열 함수의 시간 복잡도 : O(N)

d = [0] * 100

def fibo(x):
    print('f(' + str(x) + ')', end=' ')
    if x == 1 or x == 2:
        return 1
    if d[x] != 0:
        return d[x]
    d[x] = fibo(x - 1) + fibo(x - 2)
    return d[x]

fibo(6) 

# 결과 : f(6) f(5) f(4) f(3) f(2) f(1) f(2) f(3) f(4)

다이나믹 프로그래밍 vs 분할 정복

둘 다 최적 부분 구조를 가질 때 사용 가능
- 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며 작은 문제의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있는 상황
차이점 : 부분 문제의 중복
- 다이나믹 프로그래밍 문제에서는 각 부분 문제들이 서로 영향을 미치며 부분 문제가 중복됨
- 분할 정복 문제에서는 동일한 부분 문제가 반복적으로 계산되지 않음
분할 정복 예시 : 퀵 정렬
- 한 번 기준 원소(Pivot)가 자리를 변경해서 자리를 잡으면 그 기준 원소의 위치는 바뀌지 않음
- 분할 이후에 해당 피벗을 다시 처리하는 부분 문제는 호출하지 않음

다이나믹 프로그래밍 문제에 접근하는 방법

주어진 문제가 다이나믹 프로그래밍 유형임을 파악하는 것이 중요
가장 먼저 그리디, 구현, 완전 탐색 등의 아이디어로 문제를 해결할 수 있는지 검토할 수 있음
- 다른 알고리즘으로 풀이 방법이 떠오르지 않는다면 다이나믹 프로그래밍을 고려
일단 재귀 함수로 비효율적인 완전 탐색 프로그램을 작성한 뒤에 (탑다운) 작은 문제에서 구한 답이 큰 문제에서 그대로 사용될 수 있으면, 코드를 개선하는 방법을 사용할 수 있음
일반적인 코딩 테스트 수준에서는 기본 유형의 다이나믹 프로그래밍 문제가 출제되는 경우가 많음

문제: 개미 전사

개미전사는 부족한 식량을 충당하고자 메뚜기 마을의 식량창고를 몰래 공격하려고 한다. 메뚜기 마을에는 여러 개의 식량창고가 있는데 식량창고는 일직선으로 이어져 있다. 각 식량창고에는 정해진 수의 식량을 저장하고 있ㄷ으며 개미 전사는 식량창고를 선택적으로 약탈하여 식량을 빼앗을 예정이다. 이때 메뚜기 정찰병들은 일직선상에 존재하는 식량창고 중에서 서로 인접한 식량창고가 공격받으면 바로 알아챌 수 있다. 따라서 개미 전사가 정찰병에게 들키지 않고 식량창고를 약탈하기 위해서는 최소한 한 칸 이상 떨어진 식량창고를 약탈해야 한다.

예를 들어 식량창고 4개가 다음과 같이 존재한다고 가정하자.

{1, 3, 1, 5}

이때 개미 전사는 두 번째 식량창고와 네 번째 식량창고를 선택했을 때 최댓값인 총 8개의 식량을 빼앗을 수 있다. 개미 전사는 식량창고가 이렇게 일직선상일 때 최대한 많은 식량을 얻기를 원한다.

개미 전사를 위해 식량창고 N개에 대한 정보가 주어졌을 때 얻을 수 있는 식량의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오.

문제 해결 아이디어

예시를 확인해 보면 N = 4일 때, 다음과 같은 경우들이 존재할 수 있음
- 식량을 선택할 수 있는 경우의 수는 다음과 같이 8가지
- 7번째 경우에서 8만큼의 식량을 얻을 수 있으므로 최적의 해는 8
a(i) = i번째 식량 창고까지의 최적의 해 (얻을 수 있는 식량의 최댓값)
- 이렇게 정의한다면 다이나믹 프로그래밍을 적용할 수 있음
왼쪽부터 차례대로 식량 창고를 턴다고 했을 때, 특정한 i번째 식량 창고에 대해서 털지 안 털지의 여부를 결정하면, 아래 2가지 경우 중에서 더 많은 식량을 털 수 있는 경우를 선택하면 됨
a(i) = i번째 식량 창고까지의 최적의 해 (얻을 수 있는 식량의 최댓값)
k(i) = i번째 식량 창고에 있는 식량의 양
점화식
- a(i) = max(a(i-1), a(i-2) + k(i))
한 칸 이상 떨어진 식량 창고는 항상 털 수 있으므로 (i-3)번째 이하는 고려X

# 이코테 : 개미전사

from decimal import MAX_PREC


N = int(input()) # 식량창고 개수 입력
arr = list(map(int, input().split())) # 모든 식량 정보 입력

# dp 테이블 초기화
# i번째 식량 창고까지의 최적의 해 (얻을 수 있는 식량의 최댓값) 저장
d = [0] * 100

# bottom-up
d[0] = arr[0]
d[1] = MAX_PREC(arr[0], arr[1])

for i in range(2, N):
    d[i] = max(d[i-1], d[i-2] + arr[i])

# 출력
print(d[N-1])

문제: 1로 만들기

정수 X가 주어질때 정수 X에 사용할 수 있는 연산은 다음과 같이 4가지이다.

1) X가 5로 나누어떨어지면, 5로 나눈다.
2) X가 3으로 나누어 떨어지면, 3으로 나눈다.
3) X가 2로 나누어 떨어지면, 2로 나눈다.
4) X에서 1을 뺀다.

정수 X가 주어졌을때, 연산 4개를 적절히 사용해서 1을 만들어야한다. 이 연산을 사용하는 횟수의 최솟값을 출력해라.

X = 26일 경우
1. 26 - 1 = 25
2. 25 /5 = 5
3. 5 / 5 = 1

문제 해결 아이디어

피보나치 수열 문제를 도식화 한 것처럼 함수가 호출되는 과정
- 최적 부분 구조와 중복되는 부분 문제를 만족
  
  ※ 그리디의 1이 될 때까지와 다름!!
a(i) = i를 1로 만들기 위한 최소 연산 횟수
점화식
a(i) = min(a(i-1), a(i/2), a(i/3), a(i/5)) + 1
단, 1을 빼는 연산을 제외하고는 해당 수로 나누어떨어질 때에 한해 점화식을 적용할 수 있음

# 정수 X를 입력 받기
x = int(input())

# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 30001

# 다이나믹 프로그래밍(Dynamic Programming) 진행 (보텀업)
for i in range(2, x + 1):
    # 현재의 수에서 1을 빼는 경우
    d[i] = d[i - 1] + 1
    # 현재의 수가 2로 나누어 떨어지는 경우
    if i % 2 == 0:
        d[i] = min(d[i], d[i // 2] + 1)
    # 현재의 수가 3으로 나누어 떨어지는 경우
    if i % 3 == 0:
        d[i] = min(d[i], d[i // 3] + 1)
    # 현재의 수가 5로 나누어 떨어지는 경우
    if i % 5 == 0:
        d[i] = min(d[i], d[i // 5] + 1)

print(d[x])

문제: 효율적인 화폐 구성

N가지 종류의 화폐가 있다.

화폐들의 개수를 최소한으로 이용해서 그 가치의 합이 M원이 되도록 하려고 한다.

이때 각 화폐는 몇 개라도 사용할 수 있으며, 사용한 화폐의 구성은 같지만 순서만 다른 것은 같은 경우로 구분한다.

예를 들어, 2원, 3원 단위의 화폐가 있을 때는 15원을 만들기 위해 3원을 5개 사용하는 것이 가장 최소한의 화폐 개수이다.

M원을 만들기 위한 최소한의 화폐 개수를 출력하는 프로그램을 작성하시오.

문제 해결 아이디어

a(i) = 금액 i를 만들 수 있는 최소한의 화폐 개수
k = 각 화폐의 단위
점화식: 각 화폐 단위인 k를 하나씩 확인하며
- a(i-k)를 만드는 방법이 존재하는 경우, a(i) = min(a(i), a(i-k) + 1)
- a(i-k)를 만드는 방법이 존재하지 않는 경우, a(i) = INF
N = 3, M = 7이고, 각 화폐의 단위가 2, 3, 5인 경우 확인

# 정수 N, M을 입력 받기
n, m = map(int, input().split())
# N개의 화폐 단위 정보를 입력받기
array = []
for i in range(n):
    array.append(int(input()))

# 한번 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [10001] * (m + 1)

# 다이나믹 프로그래밍(Dynamic Programming) 진행(보텀업)
d[0] = 0
for i in range(n):
    for j in range(array[i], m + 1):
        if d[j - array[i]] != 10001: # (i-k)원을 만드는 방법이 존재하는 경우
            d[j] = min(d[j], d[j - array[i]] + 1)

# 계산된 결과 출력
if d[m] == 10001: # 최종적으로 M원을 만드는 방법이 없는 경우
    print(-1)
else:
    print(d[m])

문제: 금광

n x m 크기의 금광이 있습니다. 금광은 1 x 1 크기의 칸으로 나누어져 있으며, 각 칸은 특정한 크기의 금이 들어 있습니다. 채굴자는 첫 번째 열부터 출발하여 금을 캐기 시작합니다. 맨 처음에는 첫 번째 어느 행에서든 출발할 수 있습니다. 이후에 m번에 걸쳐서 매번 오른쪽 위, 오른쪽, 오른쪽 아래 3가지 중 하나의 위치로 이동해야 합니다. 결과적으로 채굴자가 얻을 수 있는 금의 최대 크기를 촐력하는 프로그램을 작성하세요.

문제 해결 아이디어

금광의 모든 위치에 대하여 다음의 세 가지만 고려하면 됨

왼쪽 위에서 오는 경우
왼쪽 아래에서 오는 경우
왼쪽에서 오는 경우

세 가지 경우 중에서 가장 많은 금을 가지고 있는 경우를 테이블에 갱신해주어 문제를 해결
array[i][j] = i행 j열에 존재하는 금의 양
dp[i][j]= i행 j열까지의 최적의 해 (얻을 수 있는 금의 최댓값)
점화식
dp[i][j] = array[i][j] + max(dp[i - 1][j - 1], dp[i][j - 1], dp[i + 1][j - 1])
이때 테이블에 접근할 때마다 리스트의 범위를 벗어나지 않는지 체크해야 함
편의상 초기 데이터를 담는 변수 array를 사용하지 않아도 됨
- 바로 DP 테이블에 초기 데이터를 담아서 다이나믹 프로그래밍을 적용할 수 있음

# 테스트 케이스(Test Case) 입력
for tc in range(int(input())):
    # 금광 정보 입력
    n, m = map(int, input().split())
    array = list(map(int, input().split())
    # 다이나믹 프로그래밍을 위한 2차원 DP 테이블 초기화
    dp = []
    index = 0
    for i in range(n):
        dp.append(array[index:index + m])
        index += m
    # 다이나믹 프로그래밍 전형
    for j in range(1, m):
        for i in range(n):
            # 왼쪽 위에서 오는 경우
            if i == 0: left_up = 0
            else: left_up = dp[i - 1][j - 1]
            # 왼쪽 아래에서 오는 경우
            if i == n - 1: left_down = 0
            else: left_down = dp[i + 1][j - 1]
            # 왼쪽에서 오는 경우
            left = dp[i][j - 1]
            dp[i][j] = dp[i][j] + max(left_up, left_down, left)
    result = 0
    for i in range(n):
        result = max(result, dp[i][m - 1])
    print(result)

문제: 병사 배치하기

N명의 병사가 무작위로 나열되어 있다. 각 병사는 특정한 값의 전투력을 보유하고 있으며, 병사를 배치할 때는 전투력이 높은 병사가 앞쪽에 오도록 내림차순으로 배치를 하고자 한다. 배치 과정에서는 특정한 위치에 있는 병사를 열외시키는 방법을 이용한다. 그러면서도 남아있는 병사의 수가 최대가 되도록 하고 싶다. 병사에 대한 정보가 주어졌을 때, 남아있는 병사의 수가 최대가 되도록 하기 위해서 열외해야 하는 병사의 수를 출력하는 프로그램을 작성하시오.

문제 해결 아이디어

이 문제의 기본 아이디어는 가장 긴 증가하는 부분 수열(Longest Increasing Subsequence, LIS)로 알려진 전형적인 다이나믹 프로그래밍 문제의 아이디어와 같음
예를 들어 하나의 수열 array = [4, 2, 5, 8, 4, 11, 15]이 있을 때
- 이 수열의 가장 긴 증가하는 부분 수열은 [4, 5, 8, 11, 15]
본 문제는 가장 긴 감소하는 부분 수열을 찾는 문제로 치환할 수 있으므로, LIS 알고리즘을 조금 수정하여 적용함으로써 정답 도출 가능
가장 긴 증가하는 부분 수열(LIS) 알고리즘
D[i] = array[i]를 마지막 원소로 가지는 부분 수열의 최대 길이
점화식
모든 0 ≤ j < i 에 대하여, D[i] = max(D[i], D[j] + 1) if array[j] < array[i]
가장 먼저 입력 받은 병사 정보의 순서를 뒤집음
가장 긴 증가하는 부분 수열(LIS) 알고리즘을 수행하여 정답을 도출

n = int(input())
array = list(map(int, input().split()))
# 순서를 뒤집어 '최장 증가 부분 수열' 문제로 변환
array.reverse()

# 다이나믹 프로그래밍을 위한 1차원 DP 테이블 초기화
dp = [1] * n

# 가장 긴 증가하는 부분 수열(LIS) 알고리즘 수행
for i in range(1, n):
    for j in range(0, i):
        if array[j] < array[i]:
            dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)

# 열외해야 하는 병사의 최소 수를 출력
print(n - max(dp))

샤이니

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피보나치 수열의 시간 복잡도 : 재귀

다이나믹 프로그래밍을 이용한 피보나치 수열 해법

메모이제이션 (Memoization)

탑다운 vs 보텀업

피보나치 수열: top-down 다이나믹 프로그래밍 소스코드

피보나치 수열: bottom-up 다이나믹 프로그래밍 소스코드

피보나치 수열: 메모이제이션 동작 분석

다이나믹 프로그래밍 vs 분할 정복

다이나믹 프로그래밍 문제에 접근하는 방법

문제: 개미 전사

문제 해결 아이디어

문제: 1로 만들기

문제 해결 아이디어

문제: 효율적인 화폐 구성

문제 해결 아이디어

문제: 금광

문제 해결 아이디어

문제: 병사 배치하기

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