[GoldⅡ / Baekjoon / Java] 가장 긴 증가하는 부분 수열 2

가장 긴 증가하는 부분 수열 2

문제

수열 A가 주어졌을 때, 가장 긴 증가하는 부분 수열을 구하는 프로그램을 작성하시오.

예를 들어, 수열 A = {10, 20, 10, 30, 20, 50} 인 경우에 가장 긴 증가하는 부분 수열은 A = {10, 20, 10, 30, 20, 50} 이고, 길이는 4이다.

입력

첫째 줄에 수열 A의 크기 N (1 ≤ N ≤ 1,000,000)이 주어진다.

둘째 줄에는 수열 A를 이루고 있는 Ai가 주어진다. (1 ≤ Ai ≤ 1,000,000)

출력

첫째 줄에 수열 A의 가장 긴 증가하는 부분 수열의 길이를 출력한다.

풀이

시간 복잡도를 O(nlogn)을 요구하구 때문에 이분 탐색으로 풀었다.

LIS는 원소가 증가해야 하며, 그 길이가 최대여야한다.

1. 검사하는 숫자가 LIS의 마지막 숫자보다 큰 경우 -> LIS에 추가
2. 검사하는 숫자가 LIS의 마지막 숫자보다 작은 경우 -> LIS 내에 적당한 위치를 찾아 갱신

예를 들어 {10, 20, 30, 15, 50, 35} 수열이 주어지면 LIS 배열엔 {10}으로 초기상태를 잡아준다.

20은 10보다 크니 LIS는 20을 추가해 {10, 20}이 된다.
30도 20보다 크니 LIS는 {10, 20, 30}이 된다.

25은 LIS의 가장 큰 값인 30보다 작다.
LIS를 만들기 위해 20을 갱신해 {10, 15, 30}으로 만들어준다.

🤔 왜 갱신해야될까?
LIS를 출력하게 될 경우엔 틀린 답이 나온다.
하지만 이 문제는 길이를 구해라고 했고, 최대한 많이 배치할 수 있도록 원소를 갱신하는 보조 장치로 갱신한다고 보면 된다.

{10, 15, 25, 40} 이나 {10, 20, 30, 50} 이나 길이에 영향이 없기 때문에 가능하다.

이 처럼 갱신하기 위해 기준 값보다 큰 가장 가까운 원소를 찾을 때 이분 탐색을 사용한다.

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.util.StringTokenizer;

public class Bt01182 {
    static int N;
    static int[] arr, dp;
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader br = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        StringTokenizer st;

        N = Integer.parseInt(br.readLine());
        arr = new int[N];
        dp = new int[N];
        st = new StringTokenizer(br.readLine());
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            arr[i] = Integer.parseInt(st.nextToken());
        }

        dp[0] = arr[0];
        int length = 1;
        for (int i = 1; i < N; i++) {
            int key = arr[i];

            if (dp[length-1] < key) {
                dp[length++] = key;
            }
            else {
                int left = 0;
                int right = length - 1;
                while (left < right) {
                    int mid = (left+right) / 2;
                    if(dp[mid] < key) {
                        left = mid + 1;
                    } else {
                        right = mid;
                    }
                }
                dp[left] = key;
            }
        }
        System.out.println(length);
    }
}