1 정규분포

1 정규분포의 모양과 특성

확률밀도함수 f(x)는 평균을 중심으로 좌우 대칭이다.
f(x)의 형태는 정규분포의 두 모수인 평균과 분산으로 인해 결정됨
1) 평균은 곡선 중심의 위치 2) 분산은 곡선의 높낮이를 결정

분산이 클수록 평평함, 분산이 작을수록 뾰족함
why? 분산이 작을수록 평균에 모여있음 그래서 뾰족함 반면 분산이 클수록 퍼져있음 따라서 평평함

정규분포의 평균, 중앙값, 최빈값은 일치한다.

2 정규분포의 특징(똑같음)

변환한 확률분포도 정규분포를 따른다.

2 표준정규분포

정규변수에 대한 확률을 계산하기 위해서는 일반적인 정규변수를 표준정규변수로 바꾸는 작업이 필요함

Q: 어떤 전구공장에서 생산되는 50w용 전구의 수명은 평균이 200시간이고 표준편차가 20시간인 정규분포 형태를 보인다고 했을 때 전구 하나를 추출하여
1 그 수명이 210시간 이상일 확률?
2 그 수명이 190시간에서 230시간 사이에 있을 확률?
3 그 수명이 205시간 이하일 확률?

Q1

210을 바꿔준다 표준 정규변수로 210-200/20=0.5
z=0.5 (0보다 살짝위쪽에 있고 그 이상)
0~0.5는 0.1915 따라서 0.5-0.1915 = 0.3085 -> 30.85

Q2

z=-0.5 ~ z=1.5
0.1915+0.4332 = 0.6247 -> 62.47

Q3

z=0.25 이하
0.5+0.0987 = 0.5987 -> 59.87

3 카이제곱분포

확률변수 X가 평균이 𝜇 이고 표준편차가 𝜎 인 정규분포를 하고 있다면
표준 정규변수 𝑍=(𝑋−𝜇)/𝜎를 제곱하면 "χ" ^2분포를 따르며 자유도(degress of freedom)는 1로서 "χ" ^2 (1) 표시됨

즉 확률변수 는 표준정규변수를 제곱한 것
이 때 자유도는 몇 개의 독립적인 표준 정규변수의 제곱을 합했느냐에 따라 결정됨

1 "χ" ^2 (1)의 특징

표준 정규변수를 제곱한 값이므로 음의 값이 나오지 않음
표준 정규변수 형태의 확률변수 Z의 값이 -1과 1 사이에 있을 확률이 68%이므로 "χ" ^2의 값이 0과 1 사이의 값을 갖게 될 확률도 약 68%
"χ" ^2의 값이 0과 2 사이의 값을 갖게 될 확률도 약 95%

2"χ" ^2 (n)의 경우

1) 독립
2) N(0,1)

위 2개를 따라야 자유도가 n인 카이제곱분포라고 할 수 있다.

3 카이제곱분포는 자유도에 따라 모양이 결정된다.

자유도가 커질수록 카이제곱분포의 모양은 점차 대칭을 이룬다.
자유도가 2가 넘으면 확률밀도함수의 높이가 증가하다가 감소하며 오른쪽 꼬리 분포를 한다.
자유도의 값 가까이에 정점이 있다.

4 카이제곱분포의 가법성 성질

확률변수 X와 Y가 카이제곱분포를 따르고 각각 v1과 v2의 자유도를 가진 두개의 독립적 확률변수라고 하자.
1) W=X+Y는 카이제곱분포가 된다.
2) 이 카이제곱분포는 v1+v2의 자유도를 가진다.

4 t분포

1) 확률변수 Z, Y는 서로독립
2) Z는 표준정규분포 N(0,1)을 따르고
3) Y는 자유도가 n인 카이제곱분포를 따를때