통계 기초(6) - 기하, 이항, 푸아송 분포

◾기하 분포

• 스노우 보드를 좋아하는 사람 A
  • 10번 도전 시 2번 성공, 한 번이라도 성공하면 집으로 복귀
  • 차드가 2번안에 성공할 확률
    • 처음에 성공할 확률 : $P(X=1) = P(trial1) = 0.2$
    • 두 번째에 성공할 확률 : $P(X=2) = P(trial1 \cap trial1) = 0.2 * 0.8 = 0.16$
    • 두 번안에 성공할 확률 : $P(X<=2) = P(X=1) + P(X=2) = 0.2 + 0.16 = 0.36$
    • 계속 누계를 계산하면 5에 수렴
      • E(X) = 5 라는 것을 의미
      • 성공률이 0.2이고 5번의 시도 중 1번 성공함을 의미한다.
      • 5번의 시도해야한다는 결론과 일치
  • 패턴 발견 : 항상 0.8이 곱해진다.

    x	1	2	3	4	..	r
    P(X=x)	0.2	0.8 X 0.2 = 0.16	0.8 X 0.8 X 0.2 = 0.128	0.8 X 0.8 X 0.8 X 0.2 = 0.1024		0.8^(r-1)X0.2

• 기하분포(Geometric Distribution) : 성공할 확률 p, 실패할 확률 q = 1 - p
  • r-1번 실패하고, 1번 성공 : $P(X=r) = q^{(r-1)}p$
  • 기하분포의 최빈값을 1이다.(r = 1)
  • 첫 번째 성공을 위해 r보다 많은 수의 시행을 필요로 하는 경우
    • $P(x > r) = q^{r}$ = > r번의 시행이 모두 실패해야한다.
  • r과 같거나 적은 수의 시도가 필요한 경우
    • $P(x <= r) = 1-q^{r}$
  • 성공 확률이 p일 때 변수 X가 기하분포를 따른다. X~Geo(P)
  • 기하분포의 기대치 : $E(X) = {1 \over p}$ (1을 성공확률로 나눈 값)
  • 기하분포의 분산 : $Var(X) = {q \over p^2}$ (실패 확률을 성공확률의 제곱으로 나눈 값)

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◾이항 분포

• 3문제, 보기 4개인 경우

  x	P(X=x)	power of 0.75	power of 0.25
  0	0.75^3 = .422	3	0
  1	3 x 0.75^2 x 0.25 = .422	2	1
  2	3 x 0.75 x 0.25^2 = .141	1	2
  3	0.25^3 = 0.015	0	3

  • 3개의 질문에 대해 r개의 정답을 구하는 확률
    • $P(X = r) = 3Cr \times 0.25^{r} \times 0.75^{3-r}$

• 이항분포(Binomial Distribution) : 이산적 확률분포의 하나. 사건 일어나는 확률을 p, 일어나지 않을 확률 q 일 경우
  • $P(X=r) = nCr \times p^{r} \times q^{n-r}$
  • X가 이항분포를 따를 때 p읠 확률일 때 n번의 시행인 경우 : X ~ B(n, p)
  • p가 0.5에 근접할 수록 이항분포 그래프는 좌우 대칭에 가까워진다.
  • n번 시행시
    • 기대값 : $E(X) = E(X_1) + E(X_2) + .. + E(X_n) = nE(X) = np$
    • 분산 : $Var(X) = Var(X_1) + Var(X_2) + ... + Var(X_n) = nVar(X) = npq$
• 기하분포와 이항분포의 차이
  • 기하분포 : 성공을 거두기 위해 시행하는 시행의 횟수 에 관심. 변수 X는 첫번째 성공을 거두기 전까지 시도해야 하는 시행의 횟수(즉, 사건이 일어나기까지 시도해야 하는 시행의 횟수)
  • 이항분포 : 성공의 수 에 관심. n번의 시행에서 성공적인 결과를 얻는 수를 X라 할 때, r번의 성공이 있을 확률을 구하는 구하는 것

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◾푸아송 분포

• 푸아송 분포(Poisson Distribution) : 주어진 시간 내에 어떤 사건이 일어나는 횟수를 나타내는 이산확률분포
  • 개별적인 사건이 주어진 구간에 임의로 독립적으로 발생
  • 구간의 예 : 일주일 동안, 1km마다 등 시간과 공간
  • 발생하는 수의 평균값 : 람다( λ )
  • 주어진 구간에 사건이 발생하는 수 X, X가 구간마다 람다만큼 발생하는 푸아송 분포
    • X ~ Po(λ)
    • 특정 구간에 r번의 발생이 있을 확률 : $P(X=r) = {e^{-\lambda}\lambda ^{r} \over r!}$
    • 기대값과 분산 : $E(X) = \lambda$, $Var(X) = \lambda$
    • X ~ po(2)에서 3번 발생할 확률
      • $P(X=3) = {e^{-2}\times 2 ^{3} \over 3!}={e^{-2}\times 8 \over 6} = e^{-2}\times 1.333 = 0.180$
  • 푸아송 그래프에서는 람다가 커질수록 람다를 기준으로 좌우대칭이 생긴다.

• 기계 고장 : 팝콘 기계가 고장을 일으키는 비율 3.4
  • 기계가 일정한 수 이상으로 고장나면 새로운 기계 구입
  • 오동작 비율을 알고, 오동작은 임의의 시점에서 발생
  • X ~ po(3.4)
  • 한 주동안 기계가 고장나지 않을 확률 : $P(X=0) = {e^{-3.4}\times 3.4 ^{0} \over 0!}={e^{-3.4}\times 2 \over 1} = 0.033$
  • 한 주동안 기계가 3번 고장날 확률 : $P(X=3) = {e^{-3.4}\times 3.4 ^{3} \over 3!}={e^{-3.4}\times 39.304 \over 6} = 0.033 * 6.55 = 0.216$
  • 기대값과 분산 : $E(X) = \lambda = 3.4$, $Var(X) = \lambda = 3.4$