Time Series Analysis

Introduction to Time Series and Forecasting
Peter J. Brockwell, Richard A. Davis 를 바탕으로 작성되었습니다.

Definition of time series model

A General Approach to time series modelling

Autocovariance & Autocorrelation

Esitmation and Elimination of Trend and seasonality

Estimation and Elimination of Both Trend and seasonality

Autoregressive model (AR)

https://en.wikipedia.org/wiki/Autoregressive_model

자기자신을 통한 예측과정이라고 할 수 있고 AR(p)는 다음과 같이 정의된다.

$Z_t :$ white noise
혹은 이와 동등하게 다음과 같이 정의된다.

$B^i:$ back shift operator (lag operator)

stationary condition은 characteristic equation을 통해서 구해진다.
https://m.blog.naver.com/PostView.naver?isHttpsRedirect=true&blogId=jahyone20&logNo=220933491078

Moving Average model (MA)

https://en.wikipedia.org/wiki/Moving-average_model

MA(q)는 다음과 같이 정의된다.

$Z$ : white noise error term
$\mu$ : mean

back shift operator를 이용한 정의는 다음과 같다.

Autoregressive moving average model(ARMA)

Def of ARMA(p,q)

Case of ARMA(1,1)

$X_t - \phi X_{t-1} = Z_t + \theta Z_{t-1}$
where $\{Z_t\}$ ~ $WN(0,\sigma ^2)$ and $\phi +\theta \neq 0$

or

$\phi(B)X_t = \theta(B)Z_t$

Existence of stationary solution

invertible / noninvertible

Yule-Walker Estimation

Yule-Walker Equation을 통해 time series model의 parameter를 추정하는 방법이다.
AR model의 경우는 다음과 같다.

Bartlett’s Formula

...

Multivariate ARMA

...

State-Space Representations

State-Space model은 아래 두개의 방정식으로 구성되는
time series $\{\bf{Y}_t$, $t = 1,2,\dots\}$ 를 말한다.

${\bf Y}_t =G_t{\bf X}_t+{\bf W}_t$, $t=1, 2, \dots$ : observation equation

${\bf X}_{t+1} =F_t{\bf X}_t+{\bf V}_t$, $t=1, 2, \dots$ : state equation

where
$\{{\bf W}_t\} \sim WN({\bf 0},\{R_t \})$
, $\{{\bf V}_t\} \sim WN({\bf 0},\{Q_t \})$
, ${G_t}$ is sequence of $w$ x $v$ matrices
, ${F_t}$ is sequence of $v$ x $v$ matrices
, ${\bf X}_t$ is $v$-dimensional state variable
, ${\bf Y}_t$ is $w$-dimensional observation
and $V_t$ is uncorrelated with $W_t$ ( i.e $E(W_tV_t^T) = 0$ for all )

ARMA(1,1) process